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prend jamais des valeurs négatives quand on donne à $x$ des valeurs réelles quelconques. Cela posé, $f(x)$ est toujours représentable comme quotient de deux sommes de carrés dont toutes les bases sont des fonctions entières rationnelles de $x$ à coefficients rationnels.

Démonstration. — Désignons par $m$ le degré de la fonction assignée $f(x)$ ; ce degré doit être évidemment toujours pair. Dans le cas $m=o$, c’est-à-dire quand $f(x)$ est un nombre rationnel, l’exactitude du théorème XLIII est une conséquence immédiate du théorème de Fermat sur la représentation d’un nombre positif comme somme de quatre carrés. Supposons maintenant que le théorème ait été démontré pour les fonctions de degré $2,4,6\ldots ,m-2$, et démontrons alors qu’il a encore lieu pour le cas d’une fonction de degré $m$ ainsi qu’il suit.

Considérons d’abord rapidement le cas où $f(x)$ est décomposable en un produit de deux ou plusieurs fonctions entières de $x$ à coefficients rationnels. Supposons que $p(x)$ soit une telle fonction contenue dans $f(x)$ et qui ne soit pas elle-même décomposable en un produit de fonctions entières à coefficients rationnels ; alors, du caractère défini que nous avons attribué à la fonction $f(x)$ résulte que le facteur $p(x)$ se présente dans $f(x)$ élevé a une puissance paire, ou bien qu’il est lui-même défini, c’est-à-dire que c’est une fonction qui, pour les valeurs réelles de $x$, ne prend jamais une valeur négative. Dans le premier cas, le quotient ${\tfrac {f(x)}{[p(x)]^{2}}}$ dans le second, $p(x)$, ainsi que ${\tfrac {f(x)}{p(x)}}$, sont des fonctions définies, et ces fonctions ont un degré pair $<m$. Par suite de notre hypothèse, ${\tfrac {f(x)}{[p(x)]^{2}}}$ dans le premier cas, et $p(x)$ ainsi que ${\tfrac {f(x)}{p(x)}}$ dans le second, sont donc représentables comme quotients de sommes de carrés de la nature indiquée dans le théorème XLIII, et, par conséquent, dans les deux cas, la fonction $f(x)$ admet aussi la représentation demandée.

Considérons maintenant l’hypothèse où $f(x)$ ne peut pas être décomposé en un produit de deux fonctions entières à coefficients rationnels. L’équation $f(\vartheta )=0$ définit alors un corps de nombres algébriques $k(\vartheta )$ de degré $m$ qui est imaginaire, ainsi que tous ses corps conjugués. Puisque, d’après la définition qui précède le théorème XLII,