des parallèles. Il n’en est pas moins important de discuter les principes et les théorèmes fondamentaux de la Géométrie quand on fait abstraction de l’axiome des parallèles. Nous avons aussi exclu de notre étude la question importante de savoir s’il est possible, sans la notion du plan ni de la droite, au seul moyen des points comme éléments et en employant la notion des groupes des déplacements, ou a l’aide de la notion de distance, d’édifier la Géométrie d’une manière logique. Cette dernière question a (ait récemment des progrès considérables, grâce aux travaux fondamentaux et féconds de Sophus Lie. Néanmoins, pour éclaircir complètement la question, il serait bon de subdiviser en plusieurs l’axiome de Lie que l’espace est une multiplicité numérique ; et avant tout il me semblerait désirable que l’on fit une discussion approfondie de l’hypothèse de Lie que les fonctions qui donnent les déplacements sont non seulement continues, mais encore susceptibles de différentiation. Quant à moi, il ne me semble pas probable que les axiomes géométriques renfermés dans la condition de la possibilité de la différentiation soient tous nécessaires.
Dans le traitement de toutes les questions de ce genre, je crois que les méthodes et les principes développés dans le précédent Ménmoire seront utiles. Comme exemple je renverrai à une étude entreprise a mon instigation par M. Dehn et qui vient de paraître[1]. Dans cette étude sont discutés les théorèmes connus de Legendre sur la somme des angles d’un triangle, que ce géomètre a démontrés au moyen de la continuité.
Les considérations de M. Dehn reposent sur les axiomes de l’association, de la distribution et de la congruence, c’est-à-dire les groupes d’axiomes I, II, IV ; au contraire, l’axiome des parallèles et l’axiome d’Archimède sont exclus. D’autre part, les axiomes de distribution sont énoncés d’une manière plus générale que dans le travail actuel, à peu près comme il suit : Parmi quatre points A, B, C, D d’une droite, il y en a toujours deux, A, C, par exemple, qui sont séparés par les deux autres B et D, et réciproquement. Cinq points A, B, C, D, E sur une droite peuvent toujours être distribués de telle sorte que A, C
- ↑ Math. Annalen t. LIII (1900)
