Nous dirons en ce cas : « La droite a est située dans le plan α », et ainsi de suite.
I, 6. Lorsque deux plans α, β ont un point A en commun, ils ont encore au moins un autre point B en commun.
I, 7. Sur tout plan il y a au moins trois points non situés sur la même droite et, dans l’espace, il y a au moins quatre points non situés dans le même plan.
Les axiomes I, 1-2 renferment des énoncés qui ne sont relatifs qu’aux points et aux droites, c’est-à-dire aux éléments de la Géométrie plane, nous pouvons donc, pour abréger, les nommer axiomes planaires du groupe I, par opposition aux axiomes I, 3-7, que l’on désignera sous le nom d’axiomes spatiaux de ce groupe.
Des théorèmes qui dérivent des axiomes I, 1-7, je ne citerai que les deux suivants :
Théorème I. — Deux droites situées dans le même plan ont un seul point en commun ou bien n’en ont aucun ; deux plans n’ont aucun point en commun ou bien ont une droite en commun ; un plan et une droite non située dans ce plan n’ont aucun point en commun ou bien en ont un seul.
Théorème II. — Par une droite et un point non situé sur cette droite, et de même par deux droites distinctes ayant un point en commun, il passe toujours un plan et un seul.
§ 3.
Le groupe d’axiomes II : Axiomes de distribution[1]
Les axiomes de ce groupe définissent l’idée exprimée par le mot « entre » et permettent, en se basant sur cette idée, d’effectuer la distribution des points sur une droite, dans un plan et dans l’espace.
- ↑ C’est M. Pasch qui, dans son Cours de Géométrie moderne, a le premier étudié en détail ces axiomes. L’axiome II, 5 en particulier est dû à M. Pasch. (D. Hilbert.)
