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La démonstration du théorème X est, de la sorte, complètement établie.

On démontrerait tout aussi aisément la proposition suivante :

Théorème XI. — (Deuxième théorème de congruence des triangles) — Dans deux triangles, lorsqu’un côté et les deux angles adjacents sont respectivement congruents entre eux, les deux triangles sont aussi congruents entre eux.

Nous sommes en mesure maintenant de démontrer les importantes propositions suivantes :

Théorème XII. — Lorsque deux angles $\angle ABC\quad {\text{et}}\quad \angle A'B'C'$ sont congruents entre eux, il en est de même de leurs supplémentaires $\angle CBD\quad {\text{et}}\quad \angle C'B'D'$.

Démonstration. — Choisissons les points A'C'D' sur les côtés passant par B' en sorte que l’on ait

$A'B'\equiv AB,\quad C'B'\equiv CB,\quad D'B'\equiv DB$

Dans les deux triangles ABC et A'B'C', les côtés AB, CB et les côtés A'B', C'B' sont respectivement congruents entre eux, et comme, en

outre, les angles compris entre ces côtés sont, par hypothèse, également congruents entre eux, du théorème X résulte la congruence des triangles en question, c’est-à-dire que l’on a les congruences

$AC\equiv A'C'\quad {\text{et}}\quad \angle BAC\equiv \angle B'A'C'$.

D’autre part, puisque, en vertu de l’axiome IV, 3, les segments AD et A'D' sont congruents entre eux, du théorème X résulte encore la congruence des triangles CAD et C'A'D', c’est-à-dire que l’on a les congruences

$CD\equiv C'D'\quad {\text{et}}\quad \angle ADC\equiv \angle A'D'C'$ ;

d’où, en considérant les triangles BCD et B'C'D' de l’axiome IV, 6, s’ensuit la congruence des anges $\angle CBD$ et $\angle C'B'D'$.