suite, cet axiome rend possible la correspondance univoque et réversible des points d’une droite et de tous les nombres réels. D’ailleurs, dans le cours des présentes recherches, nous ne nous sommes servi nulle part de cet « axiome d’intégrité ».
CHAPITRE II.
LA NON-CONTRADICTION ET L’INDÉPENDANCE DES AXIOMES.
§ 9.
La non-contradiction des axiomes.
Les axiomes des cinq groupes d’axiomes dont nous avons parlé dans le Chapitre I ne sont pas en contradiction, c’est-à-dire qu’il n’est pas possible d’en déduire par un raisonnement logique une proposition qui soit en contradiction avec un de ces axiomes. Pour le prouver il suffit d’assigner une géométrie où l’ensemble des cinq groupes soit vérifie.
À cet effet, considérons le domaine de tous les nombres algébriques qui prennent naissance, lorsque, partant du nombre t, l’on effectue un nombre fini de fois les quatre opérations, addition, soustraction, multiplication, division et une cinquième opération , où désigne chaque fois un nombre ayant déjà pris naissance par le moyen de ces cinq opérations.
Nous regarderons un couple de nombres (x, y) du domaine comme un point et le rapport (u : v : w) de trois nombres quelconques de , pourvu que u, v ne soient pas tous deux nuls, comme une droite ; enfin l’équation
exprimera que le point (x, y) est situé sur la droite (u' : v' : w). Alors, comme c’est facile à reconnaître, les axiomes I, 1-2 et III sont vérifiés. Les nombres du domaine sont tous réels ; si nous considérons que
