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la théorie des proportions sur le théorème de Pascal (théorème XXI), il en sera aussi de même de la théorie des aires. Cette manière d’établir la théorie des aires me semble une des plus remarquables applications du théorème de Pascal dans la Géométrie élémentaire.

Convention. — Si l’on joint deux points d’un polygone $P$ par une ligne brisée quelconque contenue tout entière à l’intérieur du polygone, on obtient deux nouveaux polygones $P_{1}$ et $P_{2}$ dont les points intérieurs sont tous situés à l’intérieur de $P$ ; nous dirons $P$ est décomposé en $P_{1}$ et $P_{2}$, ou bien $P_{1}$ et $P_{2}$ composent $P$.

Définition. — Sont dits flächengleich, c’est-à-dire égaux par addition, deux polygones qui peuvent être décomposés en un nombre fini de triangles respectivement congruents deux à deux.

Définition. — Sont dit inhaltzgleich ou von gleichem Inhalte, c’est-à-dire égaux par soustraction, deux polygones auxquels on peut ajouter des polygones égaux par addition, de manière que les deux polygones ainsi composés soient eux-mêmes égaux par addition.

De ces définitions résulte immédiatement ceci : en réunissant des polygones égaux par addition, on obtient encore des polygones eux mêmes égaux par addition, et, si l’on soustrait de polygones égaux par addition des polygones eux-mêmes égaux par addition, les polygones qui restent sont égaux par soustraction.

Enfin nous avons les propositions suivantes :

Théorème XXIV. — Deux polygones $P_{1}$ et $P_{2}$, égaux par addition à un troisième $P_{3}$, sont égaux entre eux par addition. Deux polygones égaux par soustraction à un troisième sont égaux entre eux par soustraction.

Démonstration. — Par hypothèse pour $P_{1}$, ainsi que pour $P_{2}$, on peut assigner une décomposition en triangles, telle qu’a chacune de ces décompositions corresponde une décomposition de $P_{2}$ en triangles congruents (fig. 28). Si nous considérons simultanément ces décompositions de $P_{3}$, on voit d’une manière générale que chaque triangle de l’une des décompositions est décomposé en polygones par des segments appartenant à l’autre décomposition. Nous introduisons alors un nombre suffisant de segments pour décomposer chacun de ces polygones eux-mêmes en triangles, et nous opérerons alors