les considérations développées jusqu’ici laissent encore indécise la question de savoir si par hasard tous les polygones ne seraient pas égaux entre eux par soustraction. S’il en était ainsi tous les théorèmes énoncés précédemment ne nous apprendraient rien et n’auraient aucun sens. Ensuite se présente la question plus générale de savoir si deux rectangles égaux par soustraction et ayant un côté commun ont aussi leurs autres côtés congruents, c’est-à-dire, si un rectangle est déterminé d’une manière univoque par un de ses côtés et par son aire.
Comme une considération plus attentive le fait voir, pour répondre aux questions ainsi soulevées, l’on a besoin de la réciproque du théorème XXVII, qui s’énonce ainsi :
Théorème XXVIII. — Lorsque deux triangles égaux par soustraction ont même base, ils ont nécessairement même hauteur.
Ce théorème fondamental XXVIII se trouve dans les Éléments d’Euclide au premier Livre, sous le numéro 39. Pour le démontrer, Euclide invoque d’ailleurs cette proposition générale relative aux grandeurs : Καὶ τὸ ὅλον τοῦ μέρους μεῖζον ἐστιν, procédé qui revient à l’introduction d’un nouvel axiome relatif aux aires.
Il s’agit maintenant d’établir le théorème XXVIII et, avec ce théorème, la théorie des aires, de la manière que nous nous sommes propose, c’est-à-dire uniquement à l’aide des axiomes planaires et sans employer l’axiome d’Archimède. À cet effet, il nous faut introduire la notion de mesure des aires.
§ 20.
La mesure des aires des triangles et des polygones.
Définition. — Si dans un triangle ABC (fig. 31) de côtés a, b, c nous menons les deux hauteurs , de la similitude des triangles BCE et ACD, nous tirons, en vertu du théorème XXII, la proportion
par suite, dans tout triangle le produit d’une base par la hauteur cor-
