Théorème XXXIII. — Il existe une Géométrie plane où les axiomes I, i-2 ; II-II ; IV, 1-5 ; V, c’est-à-dire tous les axiomes linéaires et planaires, hormis l’axiome de cogruence IV, 6, sont vérifiés, tandis que le théorème de Desargues (théotème XXXII) NE l’est PAS. Le théorème de Desargues ne peut donc être déduit uniquement des axiomes précités : pour le démontrer, il est nécessaire d’invoquer soit les axiomes spatiaux, soit tous les axiomes de la congruence,
Démonstration. — Nous choisirons, dans la Géométrie plane usuelle, dont la possibilité a été déjà démontée au Chapitre II, § 9, deux droites quelconques perpendiculaires entre elles comme axes de coordonnées X, Y, et nous prendrons l’origine O de ce système de coordonnées pour centre d’une ellipse ayant pour demi-axes 1 et 1/2. Enfin nous désignerons par F le point situé sur l’axe X positif à la distance 3/2 de l’origine 0.
Considérons l’ensemble de tous les cercles qui coupent l’ellipse en quatre points réels (distincts ou coïncidents d’une façon quelconque) et, parmi tous les points situés sur ces cercles, cherchons à déterminer celui qui est situé sur l’axe X positif et dont la distance à l’origine est maxima. A cet effet, partons d’un cercle quelconque qui coupe l’ellipse en quatre points et qui rencontre l’axe X positif en un point C. Concevons que l’on fasse tourner ce cercle autour du point C de telle sorte que deux ou plusieurs des quatre points d’intersection se réunissent en un point unique A, les autres points demeurant réels. Agrandissons le cercle de contact ainsi obtenu, de telle façon que, pendant cette opération, le point A reste toujours un point de contact avec l’ellipse ; nous arriverons ainsi nécessairement à un cercle qui, ou bien a un contact avec l’ellipse en un autre point B, ou bien a avec elle un contact quadriponctuel en A, et qui, d’autre part, rencontre l’axe X positif en un point plus éloigné que C. Le point le plus éloigné que nous cherchons se trouve donc parmi les points d’intersection avec l’axe X positif des cercles bitangents extérieurs à l’ellipse. Ces cercles bitangents extérieurs à l’ellipse sont, on le voit aisément, tous symétriques par rapport à l’axe Y. Soient a, b les coordonnées d’un point de l’ellipse ; un calcul facile nous apprend que le cercle symétrique par rapport à l’axe Y et tangent à l’ellipse en ce point
