calcul segmentaire et en invoquant le théorème de Desargues l’on obtient la proposition suivante :
Théorème XXXIV. — Les coordonnées x, y, des points d’une droite quelconque vérifient toujours une équation segmentaire de la forme
dans cette équation, les segments a, b sont nécessairement écrits à gauche des coordonnées x, y ; les segments a, b ne sont jamais nuls tous les deux, et c est un segment quelconque.
Réciproquement, toute équation segmentaire du type écrit ci-dessus représente toujours une droite dans la Géométrie plane assignée.
Démonstration. — Supposons d’abord que la droite l passe par O. Soit ensuite C un point déterminé de l, distinct de O, et soit P un point quelconque de l. Soient OA, OB les coordonnées de C et x, y celles de P. Désignons encore la droite qui joint les extrémités de x et de y par g. Enfin par l’extrémité du segment I sur l’axe X menons à AB une parallèle h ; cette parallèle découpera sur l’axe Y un segment e (fig. 46)
De la seconde partie du théorème de Desargues résulte clairement que
la droite g est toujours parallèle AB. Or, g étant aussi toujours parallèle à h, il en résulte que pour les coordonnées x, y du point quelconque P de l on a l’équation segmentaire
Maintenant soit l’ une droite quelconque de notre plan. Celle-ci
