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quantités de l’ordre $\alpha .$ En général, il me semble que l’équilibre n’est qu’un état unique, et qu’un équilibre approché et même aussi approché qu’on voudra sera toujours un non-équilibre, de sorte que pour pouvoir tirer des conclusions exactes sur cette matière il faut absolument pouvoir résoudre le problème en rigueur, ou au moins avoir égard successivement aux quantités des différents ordres, en sorte qu’on puisse s’assurer que l’équilibre rigoureux est possible. Par exemple, vous avez trouvé qu’en supposant $\delta ={\frac {3}{5}}$ et $\varphi =0$ l’ellipticité $\alpha$ peut être tout ce qu’on voudra ; or, s’il était démontré qu’un fluide homogène qui recouvre une sphère solide et homogène ne saurait être en équilibre en vertu de la simple attraction mutuelle, à moins qu’il n’ait aussi la figure sphérique, ce qui me paraît très-vraisemblable, on ne pourrait plus dire que $\alpha$ pourrait être tout ce qu’on voudrait ; or il me paraît très-possible que l’équation de l’équilibre soit telle qu’elle n’ait jamais lieu rigoureusement, à moins que $\alpha$ ne soit $=0,$ abstraction faite de la force centrifuge, et que cependant elle puisse avoir lieu à peu près, c’est-à-dire aux quantités de l’ordre $\alpha ^{2}$ près.

Vos remarques sur la convergence des séries (p. 1, Mémoire XXXV) me paraissent très-justes et très-utiles ; je me rappelle d’avoir lu quelque part celle qui regarde la convergence de la série qui exprime le sinus par l’angle, mais je vous avoue qu’elle ne me paraît pas aussi nécessaire qu’à vous pour la validité de la démonstration de M. Bernoulli, qui n’est fondée que sur la théorie des équations ; au reste, le paradoxe que vous proposez sur la fin de l’article 32 de ce même § (p. 183) ne me paraît pas inexplicable. En considérant d’abord l’expression du sinus par l’arc, qu’on peut trouver directement de plusieurs manières, et supposant le sinus donné, on a une équation dont les racines sont les différents arcs qui répondent au même sinus ; maintenant, si par la méthode du retour des suites on tire de cette équation la valeur de l’arc, on n’aura, par la nature même de cette méthode, que la plus petite des racines de l’équation, et, par conséquent, l’expression de l’arc par le sinus ne représentera jamais qu’un seul arc.

J’ai un peu médité sur le paradoxe qui concerne la résistance des