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m’ont fait naître quelques réflexions que je me proposais de vous communiquer mais cela m’est impossible, dans ce moment, n’ayant point pour me les rappeler votre Mémoire sous les yeux.

On va imprimer incessammentun Mémoire de moi sur les probabilités^[1], dont l’objet principal est la manière de remonter des événements aux causes ; j’aurai l’honneur de vous en envoyer le premier exemplaire que j’aurai, et de le soumettre à votre jugement. Il m’a donné occasion de relire ce que vous avez fait imprimer dans le Tome V des Mémoires de Turin, sur le milieu qu’il faut choisir entre plusieurs observations, et, quoique les principes dont je fais usage pour cet objet soient un peu différents des vôtres, cela ne m’a pas empêché d’admirer la belle méthode que vous donnez page 221 pour déterminer ce milieu, lorsque le nombre des erreurs est infini. La propriété dont vous faites mention à la page 177, et qui consiste en ce que la somme des carrés des termes du binôme $(1+1)^{n}$ est égale à ${\frac {1.3.5\ldots (2n-1)}{1.2.3\ldots n}}2^{n},$ cette propriété, dis-je, est très remarquable. Elle peut se démontrer facilement en cette manière pour cela, je considère le produit $(1+a)^{n}\left(1+{\frac {1}{a}}\right)^{n},$ et j’observe que le terme de ce produit indépendant de $a$ est

$1+n^{2}+\left[{\frac {n(n-1)}{1.2}}\right]^{2}+\left[{\frac {n(n-1)(n-2)}{1.2.3}}\right]^{2}+\ldots ,$

ce qui se voit aisément en développant séparément les deux quantités $(1+a)^{n}$ et $\left(1+{\frac {1}{a}}\right)^{n},$ et en les multipliant l’une par l’autre ; or, en mettant le produit $(1+a)^{n}\left(1+{\frac {1}{a}}\right)^{n}$ sous cette forme ${\frac {1}{a^{n}}}(1+a)^{2n},$ le terme indépendant de $a$ sera visiblement égal au coefficient de $a^{n}$ dans le développement de $(1+a)^{2n},$ c’est-à-dire à

${\frac {1.2.3\ldots 2n}{(1.2.3\ldots n)^{2}}}={\frac {1.3.5\ldots (2n-1)}{1.2.3\ldots n}}2^{n}\,;$

1. Mémoires sur les probabilités (Mémoires de l’Académie, année 1778, p. 127).