nombre On voit par ces formules que n’aura jamais une valeur exacte que dans les cas de pair et positif ; dans tous les autres, la série ira à l’infini, et, si est impair positif, il y aura toujours quelques termes qui s’évanouiront au commencement d’elle. Les cas de pair négatif admettent néanmoins une solution exacte lorsque
On trouvera la formule, pour ce cas, en posant dans la sup…
au lieu de et puis au lieu de car on peut voir que par ces transformations l’équation différentielle demeurera la même.
Au reste, j’ai reconnu que, dans toutes les équations d’une semblable nature, on peut souvent abréger le calcul en supposant d’abord
où étant des fonctions de qu’on déterminera après la substitution par la simple comparaison des termes ; mais, si l’équation renfermait quelque terme qui ne contînt point le ou quelqu’une de ses différences, il serait peut-être alors indispensable d’avoir recours à une méthode directe ; la mienne serait encore utile, quelle que fût la nature de ce terme. Je compte d’expliquer cette matière dans une dissertation particulière que je prépare pour le Volume de nos Mélanges de l’année prochaine. En attendant, je commence par soumettre ce petit essai à votre jugement que je regarde comme le premier dans le petit nombre de ceux qui peuvent véritablement me flatter ou me donner de la peine.
Daignez, monsieur, d’accepter les vœux que j’ose joindre avec ceux de toute la République des Lettres pour la conservation de votre précieuse vie.
Je suis avec le plus respectueux attachement, monsieur,
et Belles-Lettres, à Berlin.
