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Comme une considération tout à fait singulière m’a conduit à la solution de ce problème, que j’aurais d’ailleurs jugé presque impossible, je crois que cette découverte pourra devenir d’une grande importance dans la nouvelle partie du Calcul intégral dont la Géométrie vous est redevable.

Voilà, Monsieur et très honoré Confrère, un théorème de la plus grande importance, et un problème très difficile à résoudre :

Theorema. – Si formula $mx^{2}+ny^{2},$ casu $x=a$ et $y=b,$ prœbeat numerum primum $\alpha ,$ tunc omnes numeri primi in formula $\alpha \pm 4mnp,$ quin etiam in hac formula generaliori $\alpha q^{2}\pm 4mnp$ contenti, simul erunt numeri formœ $mx^{2}+ny^{2}.$

N. B. Demonstratio adhuc desideratur.

Problema. - Invenire duos numerus quorum productum, tam summa quam differentia sive auctum sive minutum, fiat quadratum

${\begin{alignedat}{2}xy+x+y=&\Box ,\qquad &xy-x-y=&\Box ,\\xy+x-y=&\Box ,&xy-x+y=&\Box .\end{alignedat}}$

Solutio. – Quærantur duo numerorum paria $p,q$ et $r,s$ ut formulæ

$2pq\left(p^{2}-q^{2}\right)\left(p^{2}+q^{2}\right)\qquad {\text{et}}\qquad 2rs\left(r^{2}-s^{2}\right)\left(r^{2}+s^{2}\right)$

teneant rationem quadrati ad quadratum. Tum enim numerorum quæsitorum alter erit ${\frac {\left(p^{2}+q^{2}\right)\left(r^{2}+s^{2}\right)}{2pq\left(r^{2}-s^{2}\right)}},$ alter vero ${\frac {\left(p^{2}+q^{2}\right)\left(r^{2}+s^{2}\right)}{2rs\left(p^{2}-q^{2}\right)}}.$ Conditio præscripta impletur sumendo $p=12,$ $q=1$ et $r=16,$ $s=11\,;$ tum enim eris

${\frac {2pq\left(p^{2}-q^{2}\right)\left(p^{2}+q^{2}\right)}{2rs\left(r^{2}-s^{2}\right)\left(r^{2}+s^{2}\right)}}={\frac {1}{36}}=\Box .$

Hinc ergo numeri quæsiti erunt ${\frac {13.29^{2}}{2^{3}.9^{2}}}$ et ${\frac {5.29^{2}}{2^{5}.11^{2}}}.$

(Au-dessous de la dernière ligne on lit, de la main de Lagrange, Répondue.)
Cette réponse manque.

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