ce qui n’a aucune difficulté ; ensuite, qu’on pose comme il suit
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{3}l=&p\sin \omega +{\frac {dp}{d\omega }}\cos \omega ,\quad &m=&q\sin \omega +{\frac {dq}{d\omega }}\cos \omega ,\quad &n=&r\sin \omega +{\frac {dr}{d\omega }}\cos \omega ,\\\lambda =&p\cos \omega -{\frac {dp}{d\omega }}\sin \omega ,&\mu =&q\cos \omega -{\frac {dq}{d\omega }}\sin \omega ,&\nu =&r\cos \omega -{\frac {dr}{d\omega }}\sin \omega ,\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a96470209c09eb115d7187eee63846933cf1c9fb)
et il est clair que les trois conditions prescrites sont remplies ; il ne reste donc que de rendre intégrables les trois formules différentielles. Pour cet effet, je remarque que
![{\displaystyle {\begin{aligned}dl\ \ =&\quad d\omega \cos \omega \left(p+{\frac {d^{2}p}{d\omega ^{2}}}\right),\\dm=&\quad d\omega \cos \omega \left(q+{\frac {d^{2}q}{d\omega ^{2}}}\right),\\dn\ =&\quad d\omega \cos \omega \left(r+{\frac {d^{2}r}{d\omega ^{2}}}\right)\,;\\\\d\lambda \ \ =&-d\omega \sin \omega \left(p+{\frac {d^{2}p}{d\omega ^{2}}}\right),\\d\mu =&-d\omega \sin \omega \left(q+{\frac {d^{2}q}{d\omega ^{2}}}\right),\\d\nu \ =&-d\omega \sin \omega \left(r+{\frac {d^{2}r}{d\omega ^{2}}}\right),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de7be742be731826e44f0bf7b587e21476375368)
de sorte que
![{\displaystyle {\frac {d\lambda }{dl}}={\frac {d\mu }{dm}}={\frac {d\nu }{dn}}=-\operatorname {tang} \omega .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afd998d46323570f889d002d388ccb0a20405fb7)
Maintenant transformons les formules proposées en cette sorte
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{7}&x=lt&&+\lambda u&&-\int (t\,dl&&+u\,d\lambda &&)=lt&&+\lambda u&&-\int (t-u\operatorname {tang} \omega )dl,\\&y=mt&&+\mu u&&-\int (t\,dm&&+u\,d\mu &&)=mt&&+\mu u&&-\int (t-u\operatorname {tang} \omega )dm,\\&z=nt&&+\nu u&&-\int (tdn&&+u\,d\nu &&)=nt&&+\nu u&&-\int (t-u\operatorname {tang} \omega )dn,\\\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1402745a5ac46eac1aad0815875856fbf246df1)
où puisque
et
sont des fonctions de la seule variable
toutes ces trois formules deviendront intégrables en égalant la formule
![{\displaystyle t-u\operatorname {tang} \omega }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/373d78a248a3f3a1126781702e9700b728a69a15)
à une fonction quelconque de
qui soit
de là, on tire
![{\displaystyle t=\Omega +u\operatorname {tang} \omega ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89964f5159998e0c00e87dcd9990c3c83226e57f)