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précédente sous cette forme

${\frac {\psi (x)}{1+z{\cfrac {\mathrm {C+D} x}{\mathrm {A+B} x}}}},$

$\psi (x)$ étant une fonction arbitraire de $x\,;$ le coefficient de $z^{n}$ sera donc

$\left({\frac {\mathrm {-C-D} x}{\mathrm {A+B} x}}\right)^{n}\psi (x).$

Il ne s’agit plus que d’avoir la valeur de $x^{m}$ dans cette quantité ; pour cela, je développe $\left({\frac {\mathrm {-C-D} x}{\mathrm {A+B} x}}\right)^{n}$ en série, et j’ai, au lieu de cette quantité, celle-ci

$\mathrm {N} +\mathrm {N} 'x+\mathrm {N} ''x^{2}+\mathrm {N} '''x^{3}+\ldots \,;$

donc

$\left({\frac {\mathrm {-C-D} x}{\mathrm {A+B} x}}\right)^{n}\psi (x)=\mathrm {N} \psi (x)+\mathrm {N} 'x\psi (x)+\mathrm {N} ''x^{2}\psi (x)+\ldots .$

Pour avoir le coefficient de $x^{m}$ dans cette quantité, il faut connaître, dans le développement de $\psi (x),$ les coefficients de $x^{m},\,x^{m-1},\,x^{m-2},\,\ldots \,;$ or, $\psi (x)$ étant une fonction arbitraire, on peut représenter par $\Gamma (m)$ le coefficient de $x^{m},$ $\Gamma (m)$ étant une fonction arbitraire de $m\,;$ on aura donc, pour le coefficient de $x^{m},$ dans le développement de $\left({\frac {\mathrm {-C-D} x}{\mathrm {A+B} x}}\right)^{n}\psi (x),$

$\mathrm {N} \Gamma (m)+\mathrm {N} '\Gamma (m-1)+\mathrm {N} ''\Gamma (m-2)+\ldots \,;$

donc

$y_{m,n}=\mathrm {N} \Gamma (m)+\mathrm {N} '\Gamma (m-1)+\ldots ,$

résultat entièrement conforme au vôtre. Je n’avais pas poussé plus loin ces recherches, sachant que vous vous occupiez du même objet, et persuadé que vous n’y laisseriez rien à désirer.

Votre solution du problème des parties dans le cas de trois ou d’un plus grand nombre de joueurs est fort générale et fort simple ; celle que j’en ai donnée dans mes recherches est très compliquée j’en ai donné une autre beaucoup plus simple dans l’errata des Mémoires des Savants étrangers pour l’année 1773^[1]. Il s’y est glissé une légère faute

1. Voyez le Recueil des Savants étrangers, t. VI, p. 632 et suiv., année 1774, et Mémoires de l’Académie, p. 341, année 1773.