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De là on a

$\mathrm {V} =-z+a+bx+cy+hx^{2}+gxy+mhy^{2},$

$p={\frac {dz}{dx}}=b+2hx+gy,\quad q={\frac {dz}{dy}}=c+gx+2mhy\,;$

donc, faisant varier les quantités $a,b,c,g,h,$ on a les équations de condition

${\begin{aligned}&da+xdb+ydc+x^{2}dh+xydg+my^{2}dh=0,\\&db+2xdh+ydg=0,\\&dc+xdg+2mydh=0.\end{aligned}}$

J’ajoute ces deux dernières équations ensemble apyès en avoir multiplié une par un coefficient constant arbitraire $\mu ,$ ce qui donne

$\mu db+dc+x(dg+2\mu dh)+\mu y\left(dg+{\frac {2mdh}{\mu }}\right)=0,$

où l’on voit que, si l’on fait $\mu ={\frac {m}{\mu }},$ ce qui donne $\mu ={\sqrt {m}},$ on aura

$dc+db{\sqrt {m}}+\left(x+y{\sqrt {m}}\right)\left(dg+2df{\sqrt {m}}\right)=0\,;$

cette équation ne contenant plus que deux variables $c+b{\sqrt {m}}$ et $g+2h{\sqrt {m}},$ il n’y aura qu’à supposer, à l’imitation de ce que nous avons pratiqué plus haut (47),

$c+b{\sqrt {m}}=\varphi (g+2h{\sqrt {m}}),$

ce qui donnera

$dc+db{\sqrt {m}}=\varphi '\left(g+2h{\sqrt {m}}\right)\left(dg+2dh{\sqrt {m}}\right),$

et l’on aura, après la substitution et la division par $dg+2dh{\sqrt {m}},$

$\varphi '\left(g+2h{\sqrt {m}}\right)+x+y{\sqrt {m}}=0\,;$

d’où l’on tirera la valeur de $g+2h{\sqrt {m}},$ en fonction de $x+y{\sqrt {m}}\,;$ or, comme le radical ${\sqrt {m}}$ peut être pris également en moins, on aura de