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21. Puis donc que de cette manière la solution du Problème est réduite uniquement à la recherche des angles $\xi$ et $\psi ,$ il est bon de considérer plus particulièrement les équations différentielles d’où ces angles dépendent ; ces équations sont (3)

${\frac {d\cos \xi }{dt}}=q\sin \omega \sin \psi \sin z,\quad {\frac {d\cos \psi }{dt}}=-p\sin \omega \sin \xi \sin s\,;$

or on a (5)

$\cos s={\frac {\cos \omega \cos \xi -\cos \psi }{\sin \omega \sin \xi }},$

et l’on aura pareillement

$\cos z={\frac {-\cos \omega \cos \psi +\cos \xi }{\sin \omega \sin \psi }}\,;$

d’où

${\begin{aligned}\sin s=&{\frac {\sqrt {1-\cos ^{2}\omega -\cos ^{2}\xi -\cos ^{2}\psi +2\cos \omega \cos \xi \cos \psi }}{\sin \omega \sin \xi }},\\\sin z=&{\frac {\sqrt {1-\cos ^{2}\omega -\cos ^{2}\xi -\cos ^{2}\psi +2\cos \omega \cos \xi \cos \psi }}{\sin \omega \sin \psi }}.\end{aligned}}$

Donc, si l’on substitue ces valeurs dans les équations précédentes, et qu’on fasse, pour abréger,

$\cos \xi =x,\quad -\cos \psi =y,\quad \cos \omega =a,$

on aura ces deux-ci

${\frac {dx}{dt}}=q{\sqrt {1-a^{2}-x^{2}-y^{2}-2axy}},\quad {\frac {dy}{dt}}=p{\sqrt {1-a^{2}-x^{2}-y^{2}-2axy}}.$

Soit encore

${\sqrt {1-a^{2}-x^{2}-y^{2}-2axy}}=u,$

on aura

$dx=qudt,\quad dy=pudt,$

$udu=-xdx-ydy-a(xdy+ydx)\,;$