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pliant ensuite par

$\sin ^{2}\varepsilon \sin ^{2}\zeta \sin ^{2}\eta ,\ \ {\text{ou bien par}}\ \ \left(1-\cos ^{2}\varepsilon \right)\left(1-\cos ^{2}\zeta \right)\left(1-\cos ^{2}\eta \right),$

on aura

$\left\{{\begin{aligned}&\left(1-\cos ^{2}\varepsilon \right)\left(1-\cos ^{2}\zeta \right)\left(1-\cos ^{2}\eta \right)\\&\quad -\left(1-\cos ^{2}\eta \right)(\cos \alpha -\cos \varepsilon \cos \zeta )^{2}\\&\quad -\left(1-\cos ^{2}\varepsilon \right)(\cos \gamma -\cos \zeta \cos \eta )^{2}\\&\quad -\left(1-\cos ^{2}\zeta \right)(\cos \beta +\cos \varepsilon \cos \eta )^{2}\\&\quad -2(\cos \alpha -\cos \varepsilon \cos \zeta )(\cos \gamma -\cos \zeta \cos \eta )(\cos \beta +\cos \varepsilon \cos \eta )\end{aligned}}\right\}=0\,;$

développant les termes et effaçant ce qui se détruit, on aura cette équation

$\left\{{\begin{aligned}1&-\cos ^{2}\alpha -\cos ^{2}\beta -\cos ^{2}\gamma -\cos ^{2}\varepsilon -\cos ^{2}\zeta -\cos ^{2}\eta \\&+\cos ^{2}\alpha \cos ^{2}\eta +\cos ^{2}\beta \cos ^{2}\zeta +\cos ^{2}\gamma \cos ^{2}\varepsilon \\&+2\cos \alpha \cos \varepsilon \cos \zeta -2\cos \beta \cos \varepsilon \cos \eta \\&+2\cos \gamma \cos \zeta \cos \eta -2\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma \\&+2\cos \alpha \cos \beta \cos \zeta \cos \eta -2\cos \alpha \cos \gamma \cos \varepsilon \cos \eta \\&+2\cos \beta \cos \gamma \cos \varepsilon \cos \zeta \end{aligned}}\right\}=0.$

28. Puisque les quantités $\cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma$ sont supposées connues, on pourra donc par l’équation précédente déterminer une des trois inconnues $\cos \varepsilon ,\cos \zeta ,\cos \eta$ par les deux autres, et réduire par ce moyen la solution du Problème à la recherche de ces deux dernières inconnues.

Pour cela on mettra l’équation dont il s’agit sous cette forme

$\left\{{\begin{aligned}1&-\cos ^{2}\alpha -\cos ^{2}\beta -\cos ^{2}\gamma -2\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma \\&-\left(1-\cos ^{2}\gamma \right)\cos ^{2}\varepsilon -\left(1-\cos ^{2}\beta \right)\cos ^{2}\zeta -\left(1-\cos ^{2}\alpha \right)\cos ^{2}\eta \\&+2(\cos \alpha +\cos \beta \cos \gamma )\cos \varepsilon \cos \zeta \\&-2(\cos \beta +\cos \alpha \cos \gamma )\cos \varepsilon \cos \eta \\&+2(\cos \gamma +\cos \alpha \cos \beta )\cos \zeta \cos \eta \end{aligned}}\right\}=0.$

d’où il est facile de tirer la valeur de $\cos \varepsilon ,$ par exemple, en $\cos \zeta$ et $\cos \eta \,;$ et, substituant ensuite cette valeur dans les deux dernières équations du n^o 26, on aura deux équations différentielles du premier ordre entre les trois indéterminées $\cos \zeta ,\cos \eta$ et $t\,;$ mais l’intégration de ces équations demeurera toujours très-difficile.

29. Cependant si l’on considère que les trois équations différentielles du n^o 26 ne renferment que trois radicaux différents, on verra qu’il est