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Faisons, pour abréger,

$m^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc-2ac,$

et l’on aura

$u=\mathrm {M} \sin(mt+\mu ),$

$\mathrm {M}$ et $\mu$ étant deux constantes arbitraires ; de là on trouvera

${\begin{aligned}x=&\mathrm {A} +{\frac {a\mathrm {M} }{m}}\cos(mt+\mu ),\\y=&\mathrm {B} -{\frac {b\mathrm {M} }{m}}\cos(mt+\mu ),\\z=&\mathrm {C} +{\frac {c\mathrm {M} }{m}}\cos(mt+\mu ),\end{aligned}}$

$\mathrm {A,B,C}$ étant de nouvelles constantes arbitraires.

Or puisque

$u^{2}=2(xy+xz+yz)-x^{2}-y^{2}-z^{2},$

il faudra que ces constantes soient telles, qu’elles satisfassent à cette équation ; ainsi l’on devra avoir l’équation identique

${\begin{aligned}\mathrm {M} ^{2}&\sin ^{2}(mt+\mu )=2\mathrm {(AB+AC+BC)-A^{2}-B^{2}-C^{2}} \\&-{\frac {2\mathrm {M} }{m}}(\mathrm {A} b-\mathrm {B} a-\mathrm {A} c-\mathrm {C} a-\mathrm {B} c+\mathrm {C} b+\mathrm {A} a-\mathrm {B} b+\mathrm {C} c)\cos(mt+\mu )\\&-{\frac {2\mathrm {M} }{m}}\left(2ab+2bc-2ac+a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)\cos ^{2}(mt+\mu )\,;\end{aligned}}$

donc, puisque

$\sin ^{2}(mt+\mu )=1-\cos ^{2}(mt+\mu ),$

on aura, en comparant les termes homologues,

${\begin{aligned}&\mathrm {M^{2}=2(AB+AC+BC)-A^{2}-B^{2}-C^{2}} ,\\&\mathrm {A} (a+b-c)-\mathrm {B} (a+b+c)+\mathrm {C} (-a+b+c)=0\,;\end{aligned}}$

par la dernière de ces équations on déterminera $\mathrm {C}$ en $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B} ,$ et par l’avant-dernière on déterminera $\mathrm {M}$ en $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B} \,;$ en sorte qu’il ne restera