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ce qui donnera

$\cos \varepsilon =1-\varpi ,\quad \cos \zeta =1-\rho ,\quad \cos \eta =1-\sigma ,$

on aura (27), en regardant les quantités $x,y,z,\varpi ,\rho ,\sigma$ comme très-petites, l’équation

${\begin{aligned}\varpi \rho \sigma +\sigma (x-\varpi -\rho )^{2}&+\varpi (z-\varpi -\sigma )^{2}-\rho (y-\varpi -\sigma )^{2}\\+(x&-\varpi -\rho )(z-\varpi -\sigma )(y-\varpi -\sigma )=0\,;\end{aligned}}$

ensuite l’équation du n^o 29 deviendra dans la même hypothèse

$\mathrm {(Q,P)(R,P)\varpi +(Q,P)(P,R)\rho +(R,P)(P,Q)} \sigma =\Delta ,$

$\Delta$ étant une constante arbitraire ; enfin la première des trois équations du n^o 26 deviendra

${\begin{aligned}{\frac {d\varpi }{dt}}=&(\mathrm {P,R} ){\sqrt {2(x\varpi +x\rho +\varpi \rho )-x^{2}-\varpi ^{2}-\rho ^{2}}}\\+&(\mathrm {P,Q} ){\sqrt {2(y\varpi +y\sigma +\varpi \sigma )-y^{2}-\varpi ^{2}-\sigma ^{2}}}.\end{aligned}}$

Or il est clair qu’en substituant dans cette dernière équation les valeurs de $\rho$ et $\sigma$ tirées des deux premières, on en aura une entre $\varpi$ et $t$ qui ne sera guère plus simple que celle qu’on aurait eue entre $\cos \varepsilon$ et $t$ (29).

34. Lorsqu’on aura trouvé les valeurs de $\cos \varepsilon ,\cos \zeta ,\cos \eta$ en $t,$ on connaîtra (fig. 5, page 133) les inclinaisons des orbites $\mathrm {LB,MC,NC}$ sur le plan fixe $\mathrm {OLR} \,;$ mais la position des nœuds $\mathrm {L,M,N}$ ne sera pas encore connue ; cependant on pourra la déterminer, sans aucun nouveau calcul, par la méthode du n^o 20. En effet, prenant dans l’arc $\mathrm {OR}$ un point fixe $\mathrm {O} ,$ et menant par ce point un autre arc de grand cercle $\mathrm {OR}$ perpendiculaire à l’arc $\mathrm {OR} ,$ et qui coupe en $\mathrm {L',M',N'}$ les arcs $\mathrm {AB,AC,BC}$ prolongés (fig. 6) ; il est clair que les angles $\mathrm {L',M',N'}$ seront donnés par des formules semblables à celles par lesquelles sont déterminés les angles $\mathrm {L,M,N} \,;$ car, la position de l’arc $\mathrm {OR}$ étant arbitraire, il n’y a qu’à imaginer que cet arc tourne autour du point $\mathrm {O}$ et vienne en $\mathrm {OR'} \,;$ il n’y aura de différence que dans les constantes qu’il faudra déterminer dans chaque cas convena-