Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 4.djvu/146

donc, substituant ces valeurs et mettant ensuite dans la seconde équation la valeur de $d\xi$ tirée de la première, on aura après les réductions

$d\xi =-\sin \psi \sin(y-x)(\mathrm {P,Q} )dt,$

$dx=\left[-\cos \psi +{\frac {\cos \xi \sin \psi \cos(y-x)}{\sin \xi }}\right](\mathrm {P,Q} )dt.$

Dans ces formules, $x$ est le lieu du nœud de l’orbite de $\mathrm {P}$ sur un plan fixe, $\xi$ son inclinaison sur ce plan, $y$ le lieu du nœud de l’orbite de $\mathrm {Q} ,$ et $\psi$ son inclinaison par rapport au même plan.

On aura des formules semblables pour le changement de position de cette dernière orbite en vertu du mouvement $(\mathrm {Q,P} )\,;$ il n’y aura qu’à changer dans les précédentes $x,\xi ,\mathrm {P}$ en $y,\psi ,\mathrm {Q}$ et vice versâ.

36. Je multiplie maintenant la première équation par $\cos \xi \sin x,$ et je l’ajoute à la seconde multipliée par $\sin \xi \cos x\,;$ j’ai

$d(\sin \xi \sin x)=(-\sin \xi \cos x\cos \psi +\sin \psi \cos y\cos \xi )(\mathrm {P,Q} )dt.$

je multiplie ensuite la première par $\cos \xi \cos x$ et la seconde par $\sin \xi \sin x,$ et je retranche l’une de l’autre, j’ai

$d(\sin \xi \cos x)=(\sin \xi \sin x\cos \psi -\sin \psi \sin y\cos \xi )(\mathrm {P,Q} )dt.$

De sorte que si l’on fait

${\begin{alignedat}{2}p=&\sin \xi \sin x,\quad &p'=&\sin \xi \cos x,\\q=&\sin \psi \sin y,\quad &q'=&\sin \psi \cos y,\end{alignedat}}$

on aura, pour l’orbite de $\mathrm {P} ,$ les deux équations

${\begin{aligned}dp\ =&\left(-p'{\sqrt {1-q^{2}-q'^{2}}}+q'{\sqrt {1-p^{2}-p'^{2}}}\right)(\mathrm {P,Q} )dt,\\dp'=&\left(+p\ {\sqrt {1-q^{2}-q'^{2}}}-q\ {\sqrt {1-p^{2}-p'^{2}}}\right)(\mathrm {P,Q} )dt.\end{aligned}}$

Et l’on aura de même pour l’orbite de $\mathrm {Q}$

${\begin{aligned}dq\ =&\left(-q'{\sqrt {1-p^{2}-p'^{2}}}+p'{\sqrt {1-q^{2}-q'^{2}}}\right)(\mathrm {Q,P} )dt,\\dq'=&\left(+q\ {\sqrt {1-p^{2}-p'^{2}}}-p\ {\sqrt {1-q^{2}-q'^{2}}}\right)(\mathrm {Q,P} )dt.\end{aligned}}$