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dans laquelle $\mathrm {A,B,B',C,C',C'',\ldots ,N,N'} ,\ldots$ soient des coefficients constants quelconques ; la série dont il s’agit sera une série récurrente double de l’ordre $n,$ et l’équation précédente sera une équation linéaire aux différences finies et partielles entre trois variables, de l’intégration de laquelle dépendra la recherche du terme général $y_{x,t}$ de la série.

7. Supposons d’abord que l’équation différentielle proposée n’ait que quatre termes et qu’elle soit de la forme

(F)

$\mathrm {A} y_{x,t}+\mathrm {B} y_{x+1,t}+\mathrm {B} 'y_{x,t+1}+\mathrm {C} 'y_{x+1,t+1}=0.$

Je fais

$y_{x,t}=a\alpha ^{x}\beta ^{t},$

$a,\alpha ,\beta$ étant des constantes indéterminées ; j’aurai ainsi

$y_{x+1,t}=a\alpha ^{x+1}\beta ^{t},\quad y_{x,t+1}=a\alpha ^{x}\beta ^{t+1},\quad y_{x+1,t+1}=a\alpha ^{x+1}\beta ^{t+1}\,;$

substituant ces valeurs et divisant ensuite toute l’équation par $a\alpha ^{x}\beta ^{t},$ il viendra celle-ci

$\mathrm {A} +\mathrm {B} \alpha +\mathrm {B} '\beta +\mathrm {C} '\alpha \beta =0,$

par laquelle on pourra déterminer l’une des deux constantes $\alpha ,\beta$ par l’autre.

Je tire $\beta$ de cette équation, j’ai

$\beta =-\mathrm {\frac {A+B\alpha }{B'+C'\alpha }} \,;$

donc, substituant cette valeur de $\beta ,$ j’aurai

$y_{x,t}=a\alpha ^{x}\left(-\mathrm {\frac {A+B\alpha }{B'+C'\alpha }} \right)^{t},$

où $a$ et $\alpha$ demeurent indéterminées.

Qu’on réduise maintenant la quantité $\left(-\mathrm {\frac {A+B\alpha }{B'+C'\alpha }} \right)^{t}$ en une série qui procède suivant les puissances de $\alpha ,$ mais en sorte que ces puissances