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Dans tous les autres cas la série ira à l’infini, à moins que l’on n’ait $\mathrm {B} '=0$ ou $\mathrm {C} '=0\,;$ parce qu’alors, à cause de $t$ égal à un nombre entier positif, la série des quantités $\mathrm {T,T} ',\ldots$ sera finie et n’aura que $t+1$ termes.

10. Pour montrer, par un exemple connu, l’application de la formule précédente, je prends celui de la Table de Pascal pour les combinaisons, dans laquelle on sait que chaque terme est égal à la somme de celui qui le précède dans le même rang horizontal et de celui qui est au-dessus de ce dernier dans le même rang vertical ; de plus le premier rang horizontal est tout formé d’unités et le premier rang vertical est tout zéro. D’où il s’ensuit qu’on a d’abord, en général, cette équation

$y_{x+1,t+1}=y_{x,t+1}+y_{x,t},$

et qu’ensuite on a

${\begin{alignedat}{2}y_{x,0}=&1,\ \ {\text{tant que}}\ \ &x=0,1,2,\ldots ,\\y_{0,t}=&0,\ \ {\text{tant que}}\ \ &t=1,2,3,\ldots .\end{alignedat}}$

Cette équation étant comparée à celle du n^o 7, on a

$\mathrm {A=1,\quad B=0,\quad B'=1,\quad C'=-1} \,;$

donc

$-\mathrm {\frac {A+B\alpha }{B'+C'\alpha }} ={\frac {1}{\alpha -1}}\,;$

ce qui étant élevé à la puissance $t$ donne la série

$\alpha ^{-t}+t\alpha ^{-t-1}+{\frac {t(t+1)}{2}}\alpha ^{-t-2}+{\frac {t(t+1)(t+2)}{2.3}}\alpha ^{-t-3}+\ldots ,$

de sorte qu’on aura dans la formule générale du numéro cité $\mu =-1$ et

$\mathrm {T} =1,\quad \mathrm {T} '=t,\quad \mathrm {T} ''={\frac {t(t+1)}{2}},\ldots .$