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dont il s’agit en $y_{0,0,0},\ y_{1,0,0},\ y_{0,1,0},\ldots \,;$ mais il sera difficile de parvenir par ce moyen à des formules assez simples, telles que celles que nous avons trouvées pour le cas de trois variables seulement (13).

46. On peut aussi appliquer aux équations qui font l’objet de cet Article la méthode générale de l’Article précédent, et en tirer des conclusions semblables.

En effet, il est d’abord évident que si $\alpha ^{l}\beta ^{m}\gamma ^{n}$ est un des termes de la plus haute dimension de l’équation en $\alpha ,\beta ,\gamma$ résultante de la substitution de $\alpha ^{x}\beta ^{t}\gamma ^{u}$ à la place de $y_{x,t,u}$ dans l’équation différentielle proposée, il est évident, dis-je, qu’en substituant successivement, autant qu’il est possible, la valeur de ce terme dans la quantité $\alpha ^{x}\beta ^{t}\gamma ^{u},$ on pourra la réduire à une suite finie de puissances de $\alpha ,\beta ,\gamma ,$ parmi lesquelles il ne se trouvera jamais le produit $\alpha ^{l}\beta ^{m}\gamma ^{n}.$ Ensuite on pourra prouver par les principes du n^o 32 qu’il n’y aura qu’à mettre dans cette expression de $\alpha ^{x}\beta ^{t}\gamma ^{u}$ à la place d’un produit quelconque tel que $\alpha ^{r}\beta ^{s}\gamma ^{q}$ une fonction quelconque des trois nombres $r,s,q$ qu’on pourra désigner par $f(r,s,q),$ pour avoir sur-le-champl’expression générale et complète de $y_{x,t,u}.$ Enfin on démontrera comme dans le n^o 33, que ces fonctions seront respectivement égales aux premiers termes de la suite récurrente proposée, en sorte qu’on aura, en général,

$f(r,s,q)=y_{r,s,q}\,;$

il faudra donc supposer donnés tous les termes de la forme $y_{r,s,q}$ dans lesquels on n’aura pas à la fois

$r=\ {\text{ou}}\ >l,\quad s=\ {\text{ou}}\ >m,\quad q=\ {\text{ou}}\ >n\,;$

et alors on aura, par le moyen de ces termes, l’expression générale de $y_{x,t,u}.$

47. Par exemple dans le cas du n^o 42, l’équation en $\alpha ,\beta ,\gamma ,$ contenant dans le rang de la plus haute dimension le terme $\mathrm {D} \alpha \beta \gamma ,$ on pourra