Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 4.djvu/217

et de déterminer ensuite_ par la comparaison des termes homologues les valeurs des coefficients $\mathrm {P,Q,Q'} ,\ldots .$

48. Je ne pousserai pas plus loin ces Recherches sur l’intégration des équations linéaires aux différences partielles et finies dont les coefficients sont constants ; il est aisé de voir par quels moyens on pourra appliquer aux équations de tous les ordres les méthodes que nous venons d’exposer ; je vais montrer maintenant l’usage de ces méthodes dans un petit nombre de Problèmes choisis concernant la théorie des probabilités, ce qui servira non-seulement à jeter un plus grand jour sur ces méthodes, mais encore à donner à l’Analyse des hasards un nouveau degré de perfection.

Article V. — Application des méthodes précédentes à la solution de différents Problèmes de l’Analyse des hasards.

Problème I.

49. Un joueur parie d’amener un événement donné, $b$ fois au moins, en un nombre $a$ de coups, la probabilité de l’amener à chaque coup étant $p\,;$ on demande le sort de ce joueur.

Désignons par $y_{x,t}$ son sort lorsqu’il n’a plus que $x$ coups à jouer, et qu’il a encore à amener l’événement en question $t$ fois ; il est clair que le sort cherché sera $y_{a,b}.$ Or en supposant qu’on joue un coup, il est facile de former par les principes connus de l’Analyse des hasards l’équation suivante

$y_{x,t}=py_{x-1,t-1}+(1-p)y_{x-1,t}\,;$

qui est, comme l’on voit, linéaire du second ordre aux différences finies et partielles entre trois variables.

De plus, on voit par les conditions du Problème que le joueur gagne lorsque $t=0,$ $x$ étant quelconque ; et qu’il perd lorsque $x$ étant égal à zéro, $t$ est plus grand que zéro ; ainsi l’on aura $y_{x,0}=1,$ $x$ étant quel-