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ou bien

$q^{s}f(n-s)+p^{s}f(n+s)=q^{s}f(-s)+p^{s}f(s).$

Par le moyen de ces formules, en faisant successivement $s=0,1,2,\ldots ,$ on pourra trouver toutes les valeurs de la fonction inconnue qui entre dans l’expression générale ci-dessus de $y_{x,t}.$

Mais on peut simplifier beaucoup cette solution par la substitution de $1-z_{x,t}$ à la place de $y_{x,t}.$ Car on aura d’abord l’équation différentielle

$z_{x,t}=pz_{x-1,t+1}+(1-p)z_{x-1,t-1},$

qui est de la même forme que l’équation en $y_{x,t}\,;$ par conséquent on aura aussi, en général, en employant la caractéristique $\varphi ,$ pour désigner une fonction arbitraire,

$z_{x,t}=$

${\begin{aligned}&\left[q^{x}\varphi (t-x)+p^{x}\varphi (t+x)\right]+xpq\left[q^{x-2}\varphi (t+2-x)+p^{x-2}\varphi (t-2+x)\right]\\&+{\frac {x(x-1)}{2}}p^{2}q^{2}\left[q^{x-4}\varphi (t+4-x)+p^{x-4}\varphi (t-4+x)\right]+\ldots .\end{aligned}}$

Maintenant, comme en faisant $x=0$ on doit avoir $z_{0,t}=0,$ tant que $t$ est entre les limites $0$ et $b+c,$ on aura donc $z_{0,t}=1,$ $t$ étant $=1,2,3,\ldots ,$$b+c-1\,;$ et comme en faisant $t=0$ et $t=b+c,$ on doit avoir $y_{x,0}=1$ et $y_{x,b+c}=1,$ $x$ étant positif ou zéro, il s’ensuit qu’on aura $z_{x,0}=0$ et $z_{x,b+c}=0,$ $x$ étant $0,1,2,\ldots .$

Donc : 1^o on aura, en faisant $x=0,$ $\varphi (t)=1\,;$ donc, en général, $\varphi (s)=1$ pour toutes ces valeurs de $s,$ savoir $s=1,2,3,\ldots ,b+c-1\,;$ 2^o en faisant $t=0,$ et $x$ successivement $0,1,2,\ldots ,$ on trouvera, en général,

$q^{s}\varphi (-s)+p^{s}\varphi (s)=0,$

$s$ étant $0,1,2,3,\ldots \,;$ 3^o en faisant $t=b+c,$ et $x=0,1,2,\ldots ,$ on trouvera pareillement

$q^{s}\varphi (b+c-s)+p^{s}\varphi (b+c+s)=0,$

$s$ étant aussi $=0,1,2,3,\ldots .$