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le signe supérieur étant pour le cas de $\mu$ impair, et l’inférieur pour celui de $\mu$ pair.

On aura donc, en général,

$(\mu )={\frac {{\cfrac {2}{n}}{\sqrt {\cfrac {p}{q}}}\left[1\pm \left({\sqrt {\cfrac {p}{q}}}\right)^{n}\right]\sin {\cfrac {\mu \pi }{n}}}{1-2{\sqrt {\cfrac {p}{q}}}\cos {\cfrac {\mu \pi }{n}}+{\cfrac {p}{q}}}}.$

d’où, en faisant successivement $\mu =1,2,3,\ldots ,n-1,$ on tirera les valeurs des constantes $(1),\ (2),\ (3),\ldots ,$ qu’on substituera dans l’expression ci-dessus de $y_{x,t}\,;$ ensuite il n’y aura plus qu’à faire $x=a$ et $t=c$ pour avoir la valeur du sort demandé.

Remarque.

63. Le Problème précédent revient à celui qui concerne la durée des parties que l’on joue en rabattant, et dont MM. de Monmort, Bernoulli et Moivre se sont occupés. (Voyez l’Ouvrage de Monmort, page 268, deuxième édition ; celui de Moivre, page 191, troisième édition.)

On propose ordinairement ce Problème ainsi : Deux joueurs ayant chacun un certain nombre de jetons jouent ensemble à cette condition que celui qui perdra une partie donnera un jeton à l’autre ; on demande combien il y a à parier que le jeu, qui peut durer l’infini, sera fini en un certain nombre de parties au plus, en sorte que l’un des deux joueurs aura gagné tous les jetons de l’autre. Il est facile de comprendre que si l’on dénote par $b$ et $c$ les nombres des jetons des deux joueurs, par $p$ et $1-p$ ou $q$ les probabilités respectives que ces joueurs ont pour gagner chaque partie, et par $a$ le nombre des parties dans lequel on parie que le jeu finira, il est facile, dis-je, de comprendre que l’on aura exactement le cas de notre Problème VI. Aussi des deux solutions que nous venons de donner de ce Problème, la première répond à la méthode du Problème LXIII, et la seconde répond à celle du Problème LXVIII de l’Ouvrage cité de Moivre ; mais nos solutions ont l’avantage d’être plus directes, plus générales et plus analytiques que celles de cet Auteur.