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par conséquent, qu’une fonction de $a$ mêlée avec des constantes. Ainsi, l’équation ${\frac {dy}{da}}=0$ donnera $a$ égal à une constante ; donc, etc. Ce sera la même chose si, en regardant $x$ comme une fonction de $y$ et de $a,$ on a en même temps

${\frac {dx}{da}}=0,\quad {\frac {d^{2}x}{dady}}=0,\quad {\frac {d^{3}x}{dady^{2}}}=0,\ldots ,$ à l’infini.

14. Cette considération nous conduit à une méthode directe pour trouver l’intégrale particulière d’une équation différentielle du premier ordre sans en connaître l’intégrale complète. Soit $\mathrm {Z} =0$ l’équation différentielle du premier ordre dont on cherche l’intégrale particulière, et dont l’intégrale complète est $\mathrm {V} =0,$ $\mathrm {Z}$ étant une fonction de $x,y,{\frac {dy}{dx}},$ et $\mathrm {V}$ une fonction de $x,y$ et de l’arbitraire $a.$ Puisque l’équation $\mathrm {Z} =0$ est indépendante de la quantité $a,$ il s’ensuit qu’on aura également ${\frac {d\mathrm {Z} }{da}}=0,$ en regardant $y$ comme une fonction de $x$ et $a,$ ou $x$ comme une fonction de $y$ et $a,$ donnée par l’équation $\mathrm {V} =0\,;$ et pour avoir la valeur de ${\frac {d\mathrm {Z} }{da}}$ il faudra différentier $\mathrm {Z}$ en faisant varier $y$ seul dans le premier cas, ou $x$ seul dans le second.

Supposons, pour plus de simplicité, que l’équation $\mathrm {Z} =0$ ne renferme point de fonctions transcendantes, et imaginons, ce qui est toujours possible et ne change point la nature de l’équation, qu’elle soit délivrée des fractions et des radicaux, en sorte que $\mathrm {Z}$ soit une fonction entière et rationnelle de $x,y$ et ${\frac {dy}{dx}}\,;$ on aura, en général, par la différentiation,

$d\mathrm {Z} =\mathrm {A} d{\frac {dy}{dx}}+\mathrm {B} dy+\mathrm {C} dx,$

$\mathrm {A,B}$ et $\mathrm {C}$ étant aussi des fonctions rationnelles et entières des mêmes quantités ; donc, en regardant $y$ comme une fonction de $x$ et $a,$ on aura

${\frac {d\mathrm {Z} }{da}}=\mathrm {A} {\frac {d^{2}y}{dxda}}+\mathrm {B} {\frac {dy}{da}}=0\,;$