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et substituant ensuite à la place des expressions exponentielles imaginaires les sinus qui y répondent, on aura

$x=y-\theta \sin 2y+{\frac {\theta ^{2}}{2}}\sin 4y-{\frac {\theta ^{3}}{3}}\sin 6y+\ldots .$

5. Pour généraliser, s’il est possible, la formule précédente, considérons l’équation

$\operatorname {tang} x=m\operatorname {tang} y\,;$

on parviendra, par la méthode du numéro précédent, à l’équation

$e^{2x{\sqrt {-1}}}={\frac {(1+m)e^{2y{\sqrt {-1}}}+(1-m)}{(1-m)e^{2y{\sqrt {-1}}}+(1+m)}},$

et, faisant ensuite, pour plus de simplicité,

$\theta ={\frac {1-m}{1+m}},$

on aura

$e^{2x{\sqrt {-1}}}={\frac {e^{2y{\sqrt {-1}}}+\theta }{\theta e^{2y{\sqrt {-1}}}+1}}\,;$

d’où l’on tirera pour $x$ la même expression que ci-dessus.

6. Supposons maintenant

$m={\frac {\cos \omega }{\cos \varphi }},$

en sorte que l’équation à résoudre soit

$\operatorname {tang} x={\frac {\cos \omega \operatorname {tang} y}{\cos \varphi }},$

ou bien

$\cos \varphi \operatorname {tang} x=\cos \omega \operatorname {tang} y\,;$

on aura, dans ce cas,

$\theta ={\frac {\cos \varphi -\cos \omega }{\cos \varphi +\cos \omega }}={\frac {\sin {\cfrac {\omega +\varphi }{2}}\sin {\cfrac {\omega -\varphi }{2}}}{\cos {\cfrac {\omega +\varphi }{2}}\cos {\cfrac {\omega -\varphi }{2}}}},$