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ne soient pas toutes nulles à la fois ; donc il faudra que quelqu’une de ces quantités ne soit pas nulle ; par conséquent il faudra nécessairement qu’on ait

$\mathrm {A} =0.$

Or l’équation différentielle proposée $\mathrm {Z} =0$ donne par la différentiation

$d\mathrm {Z} =\mathrm {A} d{\frac {dy}{dx}}+\mathrm {B} dy+\mathrm {C} dx=0\,;$

donc, puisque dans le cas de l’intégrale particulière $\mathrm {A}$ doit être nul, cette équation se réduira à

$\mathrm {B} dy+\mathrm {C} dx=0\quad {\text{ou bien}}\quad \mathrm {B} {\frac {dy}{dx}}+\mathrm {C} =0,$

laquelle devra s’accorder avec l’équation $\mathrm {A} =0,$ après avoir chassé la valeur de ${\frac {dy}{dx}},$ au moyen de l’équation proposée $\mathrm {Z} =0.$

15. Donc, puisque la valeur de ${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}$ tirée de l’équation différentielle $\mathrm {Z} =0$ au moyen de la différentiation est exprimée, en général, par

$-{\frac {\mathrm {B} {\cfrac {dy}{dx}}+\mathrm {C} }{\mathrm {A} }},$

il s’ensuit de ce que nous venons de démontrer que cette valeur deviendra égale à ${\frac {0}{0}}$ dans le cas de l’intégrale particulière tirée de la condition ${\frac {dy}{da}}=0\,;$ et l’on prouvera de même que la condition ${\frac {dx}{da}}=0$ rendra la valeur de ${\frac {d^{2}x}{dy^{2}}}$ égale à ${\frac {0}{0}},$ en prenant ici $dy$ pour constante au lieu de $dx.$

Et quoique la démonstration précédente soit fondée sur l’hypothèse que l’équation proposée ne renferme aucune fonction transcendante, il n’est cependant pas difficile de se convaincre que la même conclusion aura lieu quelles que soient la nature et la forme de cette équation.