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le premier terme $m\alpha +n,$ je mets la série proposée sous cette forme

$\varepsilon ,\ \ \varepsilon +(m'-m)(\alpha -\alpha '),\ \ \varepsilon +(m''-m)(\alpha -\alpha ''),\ \ \varepsilon +(m'''-m)(\alpha -\alpha '''),\ldots .$

Ici l’on voit clairement que, si l’on fait $\alpha$ égal à la plus grande des quantités $\alpha ',\alpha '',\alpha ''',\ldots ,$ le terme qui répond à cette quantité deviendra égal au premier terme $\varepsilon ,$ et que tous les autres termes seront plus grands que $\varepsilon ,$ à cause que les quantités $m'-m,\ m''-m,\ m'''-m$ sont (hypothèse) toutes positives.

Si parmi les quantités $\alpha ',\alpha '',\alpha ''',\ldots$ il y en avait deux ou plusieurs égales entre elles et qui fussent en même temps plus grandes qu’aucune des autres, en faisant $\alpha$ égale à ces quantités, on aurait tout autant de termes égaux au premier terme $\varepsilon ,$ et les autres termes seraient tous plus grands que $\varepsilon .$

Ayant trouvé ainsi une valeur de $\alpha$l qui résout le Problème, voyons comment on en pourra trouver encore d’autres, s’il y en a.

Et d’abord il est facile de voir qu’en donnant à $\alpha$ une valeur plus grande que la plus grande des quantités $\alpha ',\alpha '',\alpha ''',\ldots ,$ tous les termes qui suivent le premier seront nécessairement plus grands que celui-ci ; ainsi il est impossible de trouver, par ce moyen, deux termes égaux, et qui soient en même temps les plus petits ; par conséquent, s’il existe d’autres valeurs de $\alpha$ qui aient la condition requise, elles doivent être moindres que la plus grande des quantités $\alpha ',\alpha '',\alpha ''',\ldots .$ Supposons, pour fixer les idées, que $\alpha ^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}$ soit cette plus grande quantité, et si deux ou plusieurs, de ces quantités sont à la fois les plus grandes, soit $\alpha ^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}$ la dernière d’entre elles ; il est facile de voir que dans la série proposée tous les termes qui précéderont le terme $\varepsilon +\left(m^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}-m\right)\left(\alpha -\alpha ^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}\right)$ seront nécessairement toujours plus grands que celui-ci, tant qu’on donnera à $\alpha$ une valeur moindre que $\alpha ^{\scriptscriptstyle {\text{V}}},$ et cela parce que les quantités $m''-m,$$m'''-m,\ldots$ forment une suite croissante de quantités toutes positives on pourra donc faire abstraction de ces termes, et ne considérer que le terme $\varepsilon +\left(m^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}-m\right)\left(\alpha -\alpha ^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}\right)$ avec tous les suivants ; car il est clair que les plus petits d’entre ces termes seront en même temps moindres qu’aucun des termes qui précèdent celui dont nous venons de parler.