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On aura ainsi

$\xi =ax^{\alpha },\quad \xi '=bx^{\beta },\quad \xi ''=cx^{\gamma },\ldots .$

S’il arrive que dans quelqu’une des équations transformées le premier terme qui ne renferme point $y^{('''\ldots )}$ s’évanouisse, on pourra alors satisfaire à cette équation en faisant $y^{('''\ldots )}=0\,;$ de cette manière l’opération sera terminée, et l’on aura pour la valeur de $y$ une fraction continue finie. Cela arrivera donc lorsque l’une de ces quantités $\mathrm {N',N'',N''',N} ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},\ldots$ sera nulle.

On n’aura cependant par ce moyen qu’une valeur incomplète de $y$, à moins que les coefficients $a,b,c,\ldots$ ne renferment déjà une constante arbitraire. Pour trouver dans tous les autres cas la valeur complète de $y$, il faudra intégrer l’équation en $y^{('''\ldots )},$ ce qui est toujours possible.

En effet, comme $\mathrm {N} ^{('''\ldots )}=0,$ cette équation sera

$\mathrm {P} ^{('''\ldots )}y^{('''\ldots )}+\mathrm {Q} ^{('''\ldots )}\left[y^{('''\ldots )}\right]^{2}+\mathrm {R} ^{('''\ldots )}{\frac {dy^{('''\ldots )}}{dx}}=0\,;$

laquelle, en faisant $y^{('''\ldots )}={\frac {1}{z}},$ se change en celle-ci

$\mathrm {P} ^{('''\ldots )}z+\mathrm {Q} ^{('''\ldots )}z^{2}+\mathrm {R} ^{('''\ldots )}{\frac {dz}{dx}}=0,$

qu’on voit bien être intégrable par les méthodes connues, puisque $z$ n’y est qu’à la première dimension.

Appliquons ces règles à quelques Exemples.

8. Soit l’équation

$my+(1+x){\frac {dy}{dx}}=0,$

dans laquelle on demande la valeur de $y$ en $x$ par une fraction continue d’autant plus convergente que $x$ sera plus petite.

Substituant d’abord $ax^{\alpha }$ à la place de $y,$ et divisant par $ax^{\alpha },$ on a

$m+\alpha +{\frac {\alpha }{x}}=0\,;$