Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 4.djvu/315

mais cette valeur n’est point admissible, parce que $\gamma$ doit être $>0$ (1). J’ai donc uniquement

$\gamma =1\,;$

et, égalant à zéro la somme des coefficients des deux puissances $x$ et $x^{\gamma },$ je trouve, à cause de $\gamma =1,$

$c=-{\frac {m-1}{2}}.$

Ainsi l’on aura

$\xi ''=-(m-1){\frac {x}{2}}\,;$

et la transformée en $y'''$ sera

$-{\frac {m+1}{4}}x+\left(1-{\frac {m}{2}}x\right)y'''+y'''^{2}+{\frac {(1+x)x}{2}}{\frac {dy'''}{dx}}=0.$

On fera $y=ex^{\varepsilon }$ et l’on trouvera par le même procédé que ci-dessus

$\varepsilon =1,\quad e={\frac {m+1}{6}}.$

Donc on aura

$\xi '''={\frac {m+1}{3}}{\frac {x}{2}},$

et la transformée en $y^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}$ se trouvera de cette forme

${\frac {2(m-2)}{9}}x+\left(1+{\frac {m-1}{3}}x\right)y^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+y^{\scriptscriptstyle {\text{IV2}}}+{\frac {(1+x)x}{3}}{\frac {dy^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}{dx}}=0.$

On tirera de là

$\xi ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=-{\frac {m-2}{3}}{\frac {x}{2}},$

et ensuite viendra la transformée en $y^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}$

$-{\frac {m+2}{8}}x+\left(1-{\frac {m}{4}}x\right)y^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}+y^{\scriptscriptstyle {\text{V2}}}+{\frac {(1+x)x}{4}}{\frac {dy^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}}{dx}}=0.$

On en conclura

$\xi ^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}={\frac {m+2}{5}}{\frac {x}{2}},$