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que $\mathrm {B} dy+\mathrm {C} dx=0,$ on aura

$\mathrm {C} =-\mathrm {B} {\frac {dy}{dx}}=-\mathrm {B} p\,;$

donc

$d\mathrm {Z} =\mathrm {A} dp+\mathrm {B} (dy-pdx)=0\,;$

donc

$dy-pdx+{\frac {\mathrm {A} dp}{\mathrm {B} }}=0,$

et intégrant

$y-px+\int \left(\mathrm {\frac {A}{B}} +x\right)dp=0\,;$

de sorte qu’il faudra que la quantité $\mathrm {\frac {A}{B}} +x$ soit une fonction de $p$ sans $x$ ni $y\,;$ et alors l’équation sera

$y-px+f(p)=0,$

$f(p)$ dénotant une fonction quelconque de $p$ seul.

17. Toute équation donc de la forme

$y-px+f(p)=0,$

$p$ étant ${\frac {dy}{dx}},$ donnera par la différentiation $\left[{\text{en supposant }}f'(p)={\frac {df(p)}{dp}}\right]$ celle-ci

$\left[f'(p)-x\right]dp=0\,;$

en faisant $dp=0,$ on aura

$p=a,$

et

$y-ax+f(a)=0$

sera l’intégrale complète où $a$ est arbitraire ; en faisant

$f'(p)-x=0,$