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13. Soit, pour abréger,

$s=1+{\cfrac {{\cfrac {1}{3}}{\cfrac {x^{2}}{4}}}{1+{\cfrac {{\cfrac {1}{3.5}}{\cfrac {x^{2}}{4}}}{1+{\cfrac {{\cfrac {1}{5.7}}{\cfrac {x^{2}}{4}}}{1+{\cfrac {{\cfrac {1}{7.9}}{\cfrac {x^{2}}{4}}}{1+\ldots }}}}}}}}\,;$

on aura, par la dernière formule,

$e^{x}=1+{\frac {x}{s-{\frac {x}{2}}}}\,;$

d’où l’on tire

$s={\frac {x}{e^{x}-1}}+{\frac {x}{2}}={\frac {x}{2}}{\frac {e^{x}+1}{e^{x}-1}}={\frac {x}{2}}{\frac {e^{\frac {x}{2}}+e^{-{\frac {x}{2}}}}{e^{\frac {x}{2}}-e^{-{\frac {x}{2}}}}}\,;$

donc si l’on met partout, à la place de $x,$ $2x{\sqrt {-1}},$ la valeur de $s$ sera

${\frac {x\cos x}{\sin x}}={\frac {x}{\operatorname {tang} x}}\,;$

de sorte qu’on aura $\operatorname {tang} x={\frac {x}{s}}\,;$ donc

$\operatorname {tang} x={\cfrac {x}{1-{\cfrac {\cfrac {x^{2}}{3}}{1-{\cfrac {\cfrac {x^{2}}{3.5}}{1-{\cfrac {\cfrac {x^{2}}{5.7}}{1-{\cfrac {\cfrac {x^{2}}{7.9}}{1-\ldots }}}}}}}}}}.$

Cette expression de la tangente par l’arc s’accorde dans le fond avec celle que M. Lambert a donnée dans les Mémoires de 1761, et qu’il a dé-