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chaque fraction, considérons les différences

${\frac {\mathrm {P} y'+\mathrm {P} '}{\mathrm {Q} y'+\mathrm {Q} '}}-\mathrm {\frac {P}{Q}} ,\quad {\frac {\mathrm {P} 'y''+\mathrm {P} ''}{\mathrm {Q} 'y''+\mathrm {Q} ''}}-\mathrm {\frac {P'}{Q'}} ,\ldots ,$

lesquelles se réduisent à

${\frac {\mathrm {P'Q-Q'P} }{\mathrm {Q} (\mathrm {Q} y'+\mathrm {Q} ')}},\quad {\frac {\mathrm {P''Q'-Q''P'} }{\mathrm {Q} '(\mathrm {Q} 'y''+\mathrm {Q} '')}},\ldots \,;$

or on trouve

${\begin{aligned}&\mathrm {P'\ \ Q\,\ -Q'\,\ P\ \ } =\xi ,\\&\mathrm {P''\ Q'\,-Q''\,P'\ =(Q'\,P\ -P'\,Q\ )} \xi '\ =-\xi \xi ',\\&\mathrm {P'''Q''-Q'''P''=(Q''P'-P''Q')} \xi ''=\xi \xi '\xi '',\end{aligned}}$

et ainsi de suite ; donc les différences dont il s’agit, c’est-à-dire les excès de la vraie valeur de $y$ sur les fractions $\mathrm {{\frac {P}{Q}},{\frac {P'}{Q'}},{\frac {P''}{Q''}}} ,\ldots$ seront

${\frac {\xi }{\mathrm {Q} (\mathrm {Q} y'+\mathrm {Q} ')}},\quad -{\frac {\xi \xi '}{\mathrm {Q} '(\mathrm {Q} 'y''+\mathrm {Q} '')}},\quad {\frac {\xi \xi '\xi ''}{\mathrm {Q} ''(\mathrm {Q} ''y'''+\mathrm {Q} ''')}},\ldots .$

D’où l’on voit que, si l’une des quantités $\xi ',\xi '',\xi ''',\ldots$ devient nulle, auquel cas la fraction continue est finie, la fraction correspondante dans la suite $\mathrm {{\frac {P}{Q}},{\frac {P'}{Q'}},{\frac {P''}{Q''}}} ,\ldots$ donnera la valeur exacte de $y$.

En général, comme les quantités $\xi ',\xi '',\xi ''',\ldots$ sont toujours très-petites lorsque $x$ est supposée très-petite (1) et qu’il en est de même des quantités $y',y'',y''',\ldots ,$ il est clair que dans cette supposition les quantités $\mathrm {Q,Q',Q''} ,\ldots$ deviendront égales à l’unité, et que les quantités $\mathrm {Q} y',\mathrm {Q} 'y'',$$\mathrm {Q} ''y''',\ldots$ deviendront nulles vis-à-vis de celles-là ; donc en supposant $x$ très-petite, les excès de $y$ sur les fractions $\mathrm {{\frac {P}{Q}},{\frac {P'}{Q'}},{\frac {P''}{Q''}}} ,\ldots$ se réduiront à

$\xi ,\quad -\xi \xi ',\quad \xi \xi '\xi '',\ldots \,;$

par conséquent ces fractions seront exactes, aux quantités des ordres $\xi ,\xi \xi ',$$\xi \xi '\xi '',\ldots$ près.