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${\begin{alignedat}{2}&\mathrm {Q} ^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}&=&1+{\frac {2(m+2)}{4}}x+{\frac {(m+2)(m+1)}{4.3}}x^{2},\\&\mathrm {Q} ^{\scriptscriptstyle {\text{VI}}}&=&1+{\frac {3(m+2)}{5}}x+{\frac {3(m+2)(m+1)}{5.4}}x^{2}+{\frac {(m+2)(m+1)m}{5.4.3}}x^{3},\\&\mathrm {Q} ^{\scriptscriptstyle {\text{VII}}}&=&1+{\frac {3(m+3)}{6}}x+{\frac {3(m+3)(m+2)}{6.5}}x^{2}+{\frac {(m+3)(m+2)(m+1)}{6.5.4}}x^{3},\\&\mathrm {Q} ^{\scriptscriptstyle {\text{VIII}}}&=&1+{\frac {4(m+3)}{7}}x+{\frac {6(m+3)(m+2)}{7.6}}x^{2}-{\frac {4(m+3)(m+2)(m+1)}{7.6.5}}x^{3},\\&&&+{\frac {(m+3)(m+2)(m+1)m}{7.6.5.4}}x^{4},\\&\mathrm {Q} ^{\scriptscriptstyle {\text{IX}}}&=&1+{\frac {4(m+4)}{8}}x+{\frac {6(m+4)(m+3)}{8.7}}x^{2}+{\frac {4(m+4)(m+3)(m+2)}{8.7.6}}x^{3},\\&&&+{\frac {(m+4)(m+3)(m+2)(m+1)}{8.7.6.5}}x^{4},\\&\ldots &&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\\\\\end{alignedat}}$

Or nous avons vu dans le n^o 9 que la valeur de $y$ est ${\frac {a}{(1+x)^{m}}}\,;$ ainsi, faisant $a=1,$ on aura pour la valeur de $(1+x)^{-m}$ les fractions $\mathrm {{\frac {P}{Q}},{\frac {P'}{Q'}},{\frac {P''}{Q''}}} ,\ldots ,$ lesquelles seront exactes, aux quantités près des ordres $x^{0},x^{1},x^{2},x^{3},\ldots .$

Donc, si l’on renverse ces fractions, ou, ce qui revient au même, si l’on fait $m$ négatif et qu’on néglige les deux premières fractions, on aura les approximations suivantes vers la valeur de $(1+x)^{m}$

${\begin{aligned}&1+mx,\\&{\cfrac {1+{\cfrac {m+1}{2}}x}{1-{\cfrac {m-1}{2}}x}},\\&{\cfrac {1+{\cfrac {2(m+1)}{3}}x+{\cfrac {(m+1)m}{3.2}}x^{2}}{1-{\cfrac {m-2}{3}}x}},\end{aligned}}$