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la dernière de ces équations donne

${\text{ou}}\quad x=0,\quad {\text{ou}}\quad {\sqrt {x^{2}+y^{2}-b^{2}}}=0\,;$

dans le premier cas, la première équation deviendra

$\left(y{\sqrt {y^{2}-b^{2}}}-y^{2}+b^{2}\right){\frac {dx}{dy}}=0\,;$

mais

${\frac {dx}{dy}}={\frac {{\sqrt {x^{2}+y^{2}-b^{2}}}-y}{x}}=\infty \quad {\text{lorsque}}\quad x=0\,;$

donc $x=0$ n’est pas une intégrale particulière ; reste donc le cas de

${\sqrt {x^{2}+y^{2}-b^{2}}}=0,$

dans lequel la première équation devient

$yx-\left(y^{2}-b^{2}\right){\frac {dx}{dy}}=0\,;$

mais on a, dans ce même cas,

${\frac {dx}{dy}}=-{\frac {y}{x}}\,;$

donc substituant cette valeur et multipliant par ${\frac {x}{y}},$ l’équation précédente deviendra

$x^{2}+y^{2}-b^{2}=0,$

qui s’accorde avec

${\sqrt {x^{2}+y^{2}-b^{2}}}=0,$

en sorte que cette équation sera une intégrale particulière.

Ainsi les deux conditions ${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}={\frac {0}{0}}$ et ${\frac {d^{2}x}{dy^{2}}}={\frac {0}{0}}$ donnent, dans le cas présent, la même intégrale particulière

$x^{2}+y^{2}-b^{2}=0\,;$

ce qui s’accorde avec ce que nous avons trouvé (6), d’où il s’ensuit que