Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 4.djvu/364

et de là

$u^{3}-\mathrm {\frac {A^{2}-3B}{2}} u^{2}+\mathrm {\frac {\left(A^{2}-3B\right)^{2}}{16}} u$

$-\mathrm {\frac {4\left(A^{2}-3B\right)\left(B^{2}-3AC\right)-(AB-9C)^{2}}{3.64}} =0.$

En ne considérant que le dernier terme de cette transformée et faisant attention qu’une équation du troisième degré ne peut avoir au plus que deux racines imaginaires, on en conclura d’abord (13 et 14) que les racines de la proposée seront ou toutes trois réelles inégales, ou toutes trois réelles mais deux égales, ou une réelle et deux imaginaires, suivant que l’on aura

$\mathrm {4\left(A^{2}-3B\right)\left(B^{2}-3AC\right)-(AB-9C)^{2}} >{\text{ ou }}={\text{ ou }}<0,$

ce qui s’accorde parfaitement avec ce qu’on a trouvé dans le n^o 4.

On peut remarquer ici qu’à la rigueur les racines de la proposée ne peuvent être toutes réelles qu’en supposant que les termes de la transformée soient alternativement positifs et négatifs (12), ce qui, outre la condition précédente, donne encore celle-ci

$\mathrm {A^{2}-3B} >0\,;$

mais comme, d’un autre côté, on est assuré que la condition de

$\mathrm {4(A^{2}-3B)(B^{2}-3AC)-(AB-9C)^{2}} >0$

suffit pour la réalité des racines, il s’ensuit que, dès que cette dernière condition aura lieu, l’autre aura aussi nécessairement lieu.

Pour le prouver d’une manière directe, on remarquera qu’en faisant, pour abréger,

$\mathrm {A^{2}-3B=\alpha ,\quad 9C-AB} =\beta ,$

la condition dont il s’agit se réduira à celle-ci

$-{\frac {3\beta ^{2}+4\mathrm {A} \alpha \beta +4\mathrm {B} \alpha ^{2}}{3}}>0\,;$

donc il faudra que l’on ait

$3\beta ^{2}+4\mathrm {A} \alpha \beta +4\mathrm {B} \alpha ^{2}=-k^{2},$