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racines positives, ou bien deux négatives et une positive, ce qu’on reconnaîtra alors par les signes de cette équation ; ce qui fournira des critères plus simples que ceux que nous avons trouvés plus haut (18).

25. Soit

$x^{4}+\mathrm {M} x^{3}+\mathrm {N} x^{2}+\mathrm {P} x+\mathrm {Q} =0$

l’équation proposée du quatrième degré, dont les racines soient $a,b,c,d\,;$ la transformée dont les racines seront

$(a+c-b-d)^{2},\quad (a+d-b-c)^{2},\quad (a+b-c-d)^{2}$

sera, comme nous l’avons déjà trouvé dans nos Recherches sur la résolution algébrique des équations (32), celle-ci

$t^{3}-\mathrm {\left(3M^{2}-8N\right)} t^{2}+\mathrm {\left(3M^{4}-16M^{2}N+16N^{2}+16MP-64Q\right)} t$

$-\mathrm {\left(M^{3}-4MN+8P\right)} ^{2}=0,$

laquelle, en faisant

${\begin{aligned}&\mathrm {A=3M^{2}-8N} ,\\&\mathrm {B=3M^{4}-16M^{2}N+16N^{2}+16MP-64Q} ,\\&\mathrm {C=\left(M^{3}-4MN+8P\right)^{2}} ,\end{aligned}}$

se réduit à la forme

$t^{3}-\mathrm {A} t^{2}+\mathrm {B} t-\mathrm {C} =0.$

Donc

1^o Par ce qu’on a démontré plus haut relativement aux équations du troisième degré, la proposée aura deux racines imaginaires et deux réelles, ou bien quatre imaginaires ou quatre réelles, suivant que l’on aura

$\mathrm {4\left(A^{2}-3B\right)\left(B^{2}-3AC\right)-(AB-9C)^{2}} <0{\text{ ou }}>0\,;$

2^o Dans le dernier cas, si $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ sont positifs en même temps, la proposée aura toutes ses quatre racines réelles ; mais si l’une des deux quantités $\mathrm {A,B} ,$ ou toutes deux, sont négatives, la proposée aura ses quatre racines imaginaires.