de racines réelles positives, et qu’en général une équation quelconque ne peut avoir qu’autant de racines positives qu’elle a de changements de signes, et qu’autant de négatives qu’elle a de permanences de signes.
La règle précédente, pour juger des signes des racines réelles d’une équation du quatrième degré qu’on sait en avoir deux imaginaires, a déjà été donnée par M. Waring dans ses Meditationes algebraicæ, mais sans démonstration ; et comme cette démonstration n’avait encore été donnée par personne, que je sache, j’ai cru que les Géomètres seraient bien aises de la trouver ici.
27. De même que nous avons démontré plus haut que la transformée, qui aurait pour racines les carrés des différences entre la somme de deux racines quelconques de la proposée et la somme de deux autres quelconques de ses racines, ne pourrait avoir de racines réelles négatives qu’autant que la proposée aurait au moins quatre racines imaginaires ; de même prouvera+on que la transformée, dont les racines seraient les carrés des différences entre la somme de trois racines et la somme de trois autres racines de la proposée, ne pourra renfermer de racines réelles négatives qu’autant que la proposée aura au moins six racines imaginaires.
On démontrera de plus, par des principes analogues, que si est l’exposant du degré de la proposée, celui du degré de la transformée dont il s’agit sera représenté par
et que, si est le nombre des racines imaginaires de la proposée, la transformée aura nécessairement un nombre de racines réelles négatives égal à
28. En général, si l’on considère la transformée dont les racines seraient les carrés des différences entre la somme de racines de la proposée et la somme de autres racines, cette transformée montera au de-
