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équations $\mathrm {X} =0$ et $\mathrm {Y} =0$ n’ont point de racines égales ; dans ce cas le numérateur et le dénominateur de l’une et de l’autre quantité ${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}$ et ${\frac {d^{2}x}{dy^{2}}}$ n’auront non plus de diviseur commun.

Donc :

1^o En faisant ${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}={\frac {0}{0}}$ on aura les deux équations

$\mathrm {XY} '{\frac {dy}{dx}}-\mathrm {YX} '=0,\quad \mathrm {X{\sqrt {XY}}} =0,$

dont la seconde donne ou $\mathrm {X} =0$ ou $\mathrm {Y} =0\,;$ mais la première donne, par la substitution de la valeur de ${\frac {dy}{dx}},$

$\mathrm {Y'{\sqrt {XY}}-YX'} =0\,;$

faisant $\mathrm {X} =0,$ cette équation se réduit à $\mathrm {YX} '=0,$ laquelle donnerait $\mathrm {X} '=0,$ ce qui est contre l’hypothèse ; faisant $\mathrm {Y} =0,$ l’équation précédente se trouve remplie d’elle-même ; ainsi $\mathrm {Y} =0$ est une intégrale particulière.

2^o Si l’on fait ${\frac {d^{2}x}{dy^{2}}}={\frac {0}{0}}$ on trouvera, par un raisonnement semblable, l’intégrale particulière $\mathrm {X} =0\,;$ de sorte que ces deux intégrales particulières auront lieu en même temps.

Si l’on suppose que $\mathrm {Y}$ et $\mathrm {Y} '$ aient un diviseur commun, alors il est aisé de voir que ce diviseur disparaîtra entièrement par la division du dénominateur de la quantité ${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\,;$ par conséquent il ne pourra servir à rendre cette quantité égale à ${\frac {0}{0}}\,;$ il en sera de même relativement à la quantité ${\frac {d^{2}x}{dy^{2}}},$ si $\mathrm {X}$ et $\mathrm {X} '$ ont un diviseur commun.

D’où il faut conclure, en général, que l’équation proposée

${\frac {x}{\sqrt {\mathrm {X} }}}={\frac {y}{\sqrt {\mathrm {Y} }}}$

aura pour intégrales particulières tous les facteurs simples des deux