qu’en même temps on ait une méthode générale pour déduire ces valeurslà de celles-ci, il est clair qu’en partant alors des plus petites valeurs possibles de et lesquelles sont et on pourra en remontant trouver successivement toutes les autres valeurs satisfaisantes, suivant l’ordre de leur grandeur. Toute la difficulté consiste donc à réduire la solution de l’égalité
à celle d’une autre égalité semblable, mais dans laquelle les nombres et soient nécessairement plus petits que dans la première ; c’est l’objet de l’analyse suivante, laquelle me paraît la plus simple et la plus directe qu’on puisse employer dans cette recherche.
5. Considérons donc l’équation indéterminée
et supposons que l’on connaisse des valeurs entières de qui y satisfassent, je remarque d’abord qu’on peut supposer et premiers entre eux ; car s’ils avaient une commune mesure, il faudrait que fût divisible par le carré de cette commune mesure, et, la division faite, les quotients satisferaient également à l’équation.
Je remarque de plus que les nombres doivent être tous impairs ; car si était pair, il faudrait que fût divisible par donc serait pair aussi, donc et étant à la fois divisibles par il faudrait que le fût aussi, donc serait divisible par donc serait pair et ne serait pas premier à contre l’hypothèse. Or, étant impair, il est visible que sera aussi nécessairement impair. Enfin, comme on sait que le carré de tout nombre impair est nécessairement de la forme il s’ensuit que sera de la forme donc sera de cette même forme et par conséquent sera de la forme donc sera aussi impair.
Cela posé, l’équation
donne celle-ci
