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Ainsi ; soit que $m$ soit $1$ ou $2,$ on aura nécessairement deux équations de cette forme

$x^{2}-y^{2}=p(p-q),\quad x^{2}+y^{2}=q(p+q).$

Je considère d’abord la première de ces équations, et je la mets sous la forme

${\frac {x+y}{p}}={\frac {p-q}{x-y}}\,;$

je remarque maintenant que $x+y$ est un nombre pair, puisque $x$ et $y$ sont impairs à la fois, et que $p$ est nécessairement impair ; car, s’il était pair, il faudrait par la seconde équation que $q$ fût pair aussi, afin que $q(p+q)$ devînt un nombre pair ; mais alors ce nombre serait pairement pair, et ne pourrait par conséquent être égal à la somme de deux carrés impairs. Donc, si l’on réduit la fraction ${\frac {x+y}{p}}$ à ses moindres termes, elle sera de la forme ${\frac {2m}{n}},$ $n$ étant impair et premier à $m,$ donc on aura

$x+y=2ms,\quad p=ns\quad {\text{et}}\quad p-q=2mt,\quad x-y=nt,$

$s$ et $t$ étant deux nombres entiers quelconques ; et comme $x-y$ est nécessairement pair, et que $n$ est impair, il faudra que $t$ soit pair ; de sorte qu’en mettant $2t$ à la place de $t,$ on aura

$p-q=4mt,\quad x-y=2nt,$

$t$ étant quelconque, mais premier à $s\,;$ autrement $x$ et $y$ ne seraient plus premiers entre eux. On tire de là

$x=ms+nt,\quad y=ms-nt,\quad p=ns,\quad q=ns-4mt\,;$

ce sont les valeurs qui satisfont à la première équation ; mais il faut aussi qu’elles satisfassent à la seconde équation

$x^{2}+y^{2}=q(p+q)\,;$

en les y substituant donc, on aura

$m^{2}s^{2}+n^{2}t^{2}=(ns-4mt)(ns-2mt),$