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mais si ces nombres ont un facteur commun, on prendra

$m={\frac {u-3st}{l}},\quad n={\frac {s^{2}-8t^{2}}{l}}.$

Et puisqu’on peut prendre indifféremment les nombres $s,t,u,$ ainsi que $x,y,z$ en plus et en moins, il est facile de voir que chaque solution de l’équation

$s^{4}+8t^{4}=u^{2}$

en donnera toujours deux de l’équation

$2x^{4}-y^{4}=z^{2},$

en prenant dans l’expression de $m$ le nombre $u$ en plus ou en moins. Je remarque maintenant que $n$ ne peut jamais être zéro, et que $m$ ne peut l’être que lorsque $u=3st,$ ce qui donne

$s^{4}+8t^{4}=9s^{2}t^{2},$

d’où

${\frac {s}{t}}={\sqrt {{\frac {9}{2}}\pm {\sqrt {{\frac {81}{4}}-8}}}}={\sqrt {{\frac {9}{2}}\pm {\frac {7}{2}}}}=1\quad {\text{ou}}\quad ={\sqrt {8}}\,;$

la valeur ${\sqrt {8}}$ ne pouvant être admise à cause de son irrationnalité, reste ${\frac {s}{t}}=1,$ et par conséquent

$s=1,\quad t=1\,;$

ces valeurs satisfont en effet à l’équation

$s^{4}+8t^{4}=u^{2}\,;$

mais alors on aurait

$x=n,\quad y=-n,$

et comme $x$ et $y$ doivent être premiers entre eux (hypothèse), on aurait $x=1$ et $y=1.$ D’où l’on voit que lorsque $x$ et $y$ seront premiers entre eux et différents de l’unité, alors $s$ et $t$ seront aussi premiers entre eux et différents de l’unité, et $m$ ne sera jamais zéro ; de sorte que le plus grand des nombres $x$ et $y$ sera nécessairement plus grand que l’un et l’autre