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10. S’il n’y a que deux corps $\mathrm {M,M'} ,$ alors (1)

$\Omega ={\frac {\mathrm {MM} '}{\sqrt {(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+(z-z')^{2}}}},$

d’où l’on tire par la différentiation

${\begin{aligned}{\frac {d\Omega }{dx}}=&-{\frac {\mathrm {MM} '(x-x')}{\left[(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+(z-z')^{2}\right]^{\frac {3}{2}}}},\\{\frac {d\Omega }{dy}}=&-{\frac {\mathrm {MM} '(y-y')}{\left[(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+(z-z')^{2}\right]^{\frac {3}{2}}}},\\{\frac {d\Omega }{dz}}=&-{\frac {\mathrm {MM} '(z-z')}{\left[(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+(z-z')^{2}\right]^{\frac {3}{2}}}}\,;\end{aligned}}$

mais on a dans ce cas, par la propriété du centre de gravité, en supposant que ce centre soit l’origine des coordonnées (5),

$\mathrm {M} x+\mathrm {M} 'x'=0,\quad \mathrm {M} y+\mathrm {M} 'y'=0,\quad \mathrm {M} z+\mathrm {M} 'z'=0,$

ce qui donne

$x'=-{\frac {\mathrm {M} x}{\mathrm {M} '}},\quad y'=-{\frac {\mathrm {M} y}{\mathrm {M} '}},\quad z'=-{\frac {\mathrm {M} z}{\mathrm {M} '}}\,;$

donc, substituant et faisant, pour abréger,

$x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2},$

en sorte que $r$ soit le rayon vecteur, on aura

${\frac {d\Omega }{dx}}=-\mathrm {\frac {MM'^{3}}{(M+M')^{2}}} {\frac {x}{r^{3}}},\quad {\frac {d\Omega }{dy}}=-\mathrm {\frac {MM'^{3}}{(M+M')^{2}}} {\frac {y}{r^{3}}},$

${\frac {d\Omega }{dz}}=-\mathrm {\frac {MM'^{3}}{(M+M')^{2}}} {\frac {z}{r^{3}}}\,;$

par conséquent le mouvement du corps $\mathrm {M}$ autour du centre de gravité, des corps $\mathrm {M}$ et $\mathrm {M} '$ sera déterminé (2) par ces équations

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=-\mathrm {\frac {M'^{3}}{(M+M')^{2}}} {\frac {x}{r^{3}}},\quad {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}=-\mathrm {\frac {M'^{3}}{(M+M')^{2}}} {\frac {y}{r^{3}}},$

${\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}=-\mathrm {\frac {M'^{3}}{(M+M')^{2}}} {\frac {z}{r^{3}}},$

lesquelles font voir que ce mouvement sera le même que si le corps était attiré vers le centre dont il s’agit, supposé fixe, par une force égale à ${\frac {\mathrm {M} '3}{(\mathrm {M+M'} )^{2}r^{2}}}.$