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son intégrale complète est

$y-a(x-b)={\sqrt {c^{2}\left(1+a^{2}\right)-b^{2}}},$

ce qui donne différentes lignes droites suivant la valeur de la constante arbitraire $a\,;$ nous avons vu ensuite que cette même équation est susceptible d’une intégrale particulière, laquelle est

${\frac {(x-b)^{2}}{c^{2}}}+{\frac {y^{2}}{c^{2}-b^{2}}}=1,$

et représente par conséquent une ellipse dans laquelle les abscisses sont prisses depuis l’un des foyers, et où $b$ est l’excentricité etc le demi grand axe ; de sorte que cette ellipse est la même que celle dont nous avons parlé ci-dessus.

Article IV. — Des intégrales particulières des équations différentielles du second ordre et des ordres plus élevés.

27. Soit

$\mathrm {Z} '=0$

une équation différentielle du second ordre, $\mathrm {Z} '$ étant une fonction de $x,y,$${\frac {dy}{dx}},d{\frac {dy}{dx}}\,;$ et soit

$\mathrm {V} =0$

l’intégrale finie et complète de cette équation : $\mathrm {V}$ sera, dans ce cas, une fonction de $x,y$ et de deux constantes arbitraires $a$ et $b.$ Or, puisque $a$ et $b$ sont arbitraires, on peut supposer, en général, que $b$ soit une fonction quelconque de $a\,;$ alors $\mathrm {V}$ sera une fonction de $x,y$ et $a\,;$ et, de ce que nous avons démontré dans l’Article II, il s’ensuit que l’équation $\mathrm {V} =0$ satisfera également à l’équation $\mathrm {Z} '=0,$ en supposant $a$ variable, pourvu que l’on ait

${\frac {dy}{da}}=0,\quad {\frac {d^{2}y}{dadx}}=0,$