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nées $x,y,z$ dont l’origine est pareillement au centre du Soleil, on trouvera des expressions de cette forme

$x=at+bu,\quad y=ct+eu,\quad z=ft+gu,$

les coefficients $a,b,c,e,f,g$ étant constants et ne dépendant que de la position du plan de l’orbite par rapport au plan des $x$ et $y,$ et de la position de l’axe des abscisses $t$ par rapport à l’axe des abscisses $x.$

Nous nous dispenserons ici de donner la démonstration de ces formules, qui doit être très-facile pour quiconque est tant soit peu versé dans l’Analyse des courbes ; nous nous contenterons seulement de remarquer que comme, par l’hypothèse, la distance de la Comète au Soleil doit être exprimée par ${\sqrt {t^{2}+u^{2}}},$ il faudra que l’on ait

$r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}=t^{2}+u^{2}\,;$

par conséquent

$(at+bu)^{2}+(ct+eu)^{2}+(ft+gu)^{2}=t^{2}+u^{2},$

équation qui doit être identique, et d’où l’on tire par conséquent ces trois déterminations

$a^{2}+c^{2}+f^{2}=1,\quad b^{2}+e^{2}+g^{2}=1,\quad ab+ce+fg=0.$

Il ne restera donc plus parmi les six constantes $a,b,c,e,f,g,$ que trois indéterminées ; ce seront celles qui dépendent de la position de la ligne des nœuds de l’orbite, de son inclinaison et de l’angle de l’axe des $t$ avec la ligne des nœuds ; mais il nous suffira, pour le présent, de considérer les formules précédentes sous la forme où elles se présentent.

6. On aura donc, dans chaque observation, trois équations analogues à celles qu’on vient de donner, les coefficients $a,b,c,\ldots$, étant partout les mêmes.

Ainsi, pour trois observations différentes, on aura d’abord ces trois équations

$x'=at'+bu',\quad x''=at''+bu'',\quad x'''=at'''+bu'',$

d’où l’on peut éliminer $a$ et $b.$