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Multipliant cette quantité par

${\frac {p^{2}}{3}}={\frac {r'^{2}r''^{2}\sin ^{4}\omega }{3\left(r'+r''-2{\sqrt {r'r''}}\cos \omega \right)^{2}}},$

on aura

${\frac {\left(r'+r''+{\sqrt {r'r''}}\cos \omega \right){\sqrt {r'r''}}\sin \omega }{3}}$

pour le secteur parabolique renfermé entre les deux rayons vecteurs $r'$ et $r''$ qui comprennent l’angle $2\omega .$

Cette expression est assez remarquable, parce qu’elle est indépendante du paramètre de la parabole et du lieu du périhélie. M. Lambert est le premier qui l’ait trouvée dans son beau Traité des Orbites des Comètes, d’où j’aurais pu l’emprunter si je n’avais cru faire plaisir aux Géomètres en la déduisant des formules ordinaires de la parabole.

Qu’on divise maintenant la quantité précédente par

${\sqrt {p}}={\frac {{\sqrt {r'r''}}\sin \omega }{\sqrt {r'+r''-2{\sqrt {r'r''}}\cos \omega }}},$

on aura une quantité proportionnelle au temps $\theta '$ employé par la Comète à décrire l’angle $2\omega =\varphi ''-\varphi '\,;$ donc

$3K\theta '=\left(r'+r''+{\sqrt {r'r''}}\cos \omega \right){\sqrt {r'+r''-2{\sqrt {r'r''}}\cos \omega }},$

le coefficient $\mathrm {K}$ étant le même pour toutes les Planètes et les Comètes qui tournent autour du Soleil. De sorte que, nommant $\mathrm {D}$ le temps périodique d’une Planète quelconque, $\mathrm {A}$ l’aire de l’ellipse décrite par cette Planète et $4\mathrm {P}$ le paramètre de cette ellipse, on aura aussi

$\mathrm {KD={\frac {A}{\sqrt {P}}}} ,$

et par conséquent

$\mathrm {K={\frac {A}{D{\sqrt {P}}}}} .$

En prenant la distance moyenne de la Terre au Soleil pour l’unité, c’est-à-dire en faisant le demi-grand axe de l’orbite de la Terre $=1$ et le