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et appliquant à l’équation

$\upsilon =1+q\upsilon ^{3}$

les formules du Problème II du Mémoire cité^[1], on aura

${\begin{aligned}\upsilon ^{m}=&1+mq+{\frac {m(m+5)}{2}}q^{2}+{\frac {m(m+7)(m+8)}{2.3}}q^{3}\\&+{\frac {m(m+9)(m+10)(m+11)}{2.3.4}}q^{4}+\ldots ,\end{aligned}}$

et dans le cas de $m=1$

$\upsilon =1+q+3q^{2}+12q^{3}+55q^{4}+\ldots ,$

séries qui seront toujours convergentes tant que $q$ sera $<{\frac {4}{27}},$ et par conséquent tant que

${\frac {\theta '}{s^{3}}}<{\frac {16}{9}}.$

Or, comme la condition de $q<{\frac {4}{27}}$ est aussi celle qui rend réelles toutes les racines de l’équation

$\upsilon =1+q\upsilon ^{3},$

on pourra aussi employer dans ce cas la trisection de l’angle. En effet, si l’on considère l’équation

$\sin 3\nu =3\sin \nu -4\sin 3\nu$

et qu’on la mette sous la forme

${\frac {3\sin \nu }{\sin 3\nu }}=1+{\frac {(2\sin 3\nu )^{2}}{27}}\left({\frac {3\sin \nu }{\sin 3\nu }}\right)^{3},$

on aura, en la comparant à la proposée,

$\upsilon ={\frac {3\sin \nu }{\sin 3\nu }}\quad {\text{et}}\quad \sin 3\nu ={\frac {3{\sqrt {3q}}}{2}}.$

Mais cette solution, ainsi que la précédente, n’aura lieu que tant que

1. Œuvres de Lagrange, t. III, p. 53.